Русская Википедия:Математическая формулировка общей теории относительности
В этой статье рассматривается математический базис общей теории относительности. Шаблон:ОТО
Исходные положения
Наше интуитивное восприятие указывает нам, что пространство-время является регулярным и непрерывным, то есть не имеет «дыр». Математически эти свойства обозначают, что пространство-время будет моделироваться гладким дифференцируемым многообразием 4 измерений <math> M_4 </math>, то есть пространством размерности 4, для которого окрестность каждой точки походит локально на четырёхмерное евклидово пространство. Гладкость здесь означает достаточную дифференцируемость, пока без уточнения её степени.
Так как кроме того с хорошей точностью выполняются законы специальной теории относительности, то такое многообразие можно наделить лоренцевой метрикой, то есть невырожденным метрическим тензором с сигнатурой <math>\{-,+,+,+\}</math> (или, что эквивалентно, <math>\{+,-,-,-\}</math>). Значение этого раскрывается в следующем разделе.
Геометрия пространства-времени
NB Эта статья следует классическим соглашениям знаков Мизнера, Торна и Уилера[1]
В этой статье принимается также соглашение Эйнштейна для суммирования по повторяющимся индексам.
Метрический тензор
Дифференцируемое многообразие[2] M, снабжённое лоренцевым метрическим тензором g, и представляет собой таким образом Лоренцево многообразие, которое составляет частный случай псевдориманова многообразия (определение «лоренцев» будет уточнено дальше в тексте; см. ниже раздел Лоренцева метрика).
Возьмём какую-нибудь систему координат <math> x^{\mu} </math> в окрестности точки <math> P </math>, и пусть <math>{\mathbf e}_{\mu}(x) </math> — локальный базис в касательном пространстве <math> T_xM </math> к многообразию <math> M </math> в точке <math>x\in M </math>. Касательный вектор <math> \mathbf w \in T_xM</math> запишется тогда как линейная комбинация базисных векторов:
<math> \mathbf{w} \ = \ w^{\mu} \ \mathbf{e}_{\mu}.</math> |
При этом величины <math> \ w^{\mu} </math> называются контравариантными компонентами вектора w. Метрический тензор <math> \mathbf g </math> тогда — симметричная билинейная форма:
<math>\mathbf g \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ dx^{\mu}\ \otimes \ dx^{\nu},</math> |
где через <math> dx^{\mu} </math> обозначен дуальный по отношению к <math>{\mathbf e}_{\mu}(x)</math> базис в кокасательном пространстве <math>T_x^*M</math>, то есть такие линейные формы на <math>T_xM</math>, что:
<math> dx^{\nu} ({\mathbf e}_{\mu}) \ =\ \delta_{\mu}^{\nu}. </math> |
Далее будем предполагать, что компоненты <math> g_{\mu\nu}(x) </math> метрического тензора меняются в пространстве-времени непрерывно[3].
Метрический тензор, таким образом, может быть представлен действительной симметричной матрицей 4x4:
<math> g_{\mu\nu} \ = \ g_{\nu\mu}. </math> |
Вообще любая действительная матрица 4x4 имеет априори 4 x 4 = 16 независимых элементов. Условие симметрии уменьшает это число до 10: на самом деле, остаётся 4 диагональных элемента, к которым надо добавить (16 — 4)/2 = 6 недиагональных элементов. Тензор <math>g_{\mu\nu}</math> обладает, таким образом, только 10 независимыми компонентами.
Скалярное произведение
Метрический тензор определяет для каждой точки <math> x \in M </math> многообразия псевдо-скалярное произведение («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора); см. Лоренцева метрика) в касательном к многообразию <math>M^{}</math> в точке <math>x</math> псевдоевклидовом пространстве <math>T_xM</math>. Если <math>\mathbf u</math> и <math>\mathbf v</math> — два вектора <math>T_xM</math>, их скалярное произведение запишется как:
<math>\mathbf u \cdot \mathbf v \ = \ \mathbf g (\mathbf u, \mathbf v) \ = \ g_{\mu \nu} \ u^{\mu} \ v^{\nu}</math> |
В частности, взяв два базисных вектора, получаем компоненты:
<math>g_{\mu \nu} \ = \ \mathbf g ({\mathbf e}_{\mu}, {\mathbf e}_{\nu}) \ = \ {\mathbf e}_{\mu} \cdot {\mathbf e}_{\nu} </math> |
Замечание: если величины <math>w^{\mu}</math> обозначают контравариантные компоненты вектора w, то можно определить также его ковариантные компоненты как:
<math> w_{\mu} \ = \ \mathbf w \ \cdot \mathbf e_{\mu}.</math> |
Элементарное расстояние — интервал
Рассмотрим вектор элементарного перемещения <math> d\mathbf P \ = \ \epsilon^{\mu} \mathbf e_{\mu}</math> между точкой <math>P^{}</math> и бесконечно близкой точкой: <math> | \epsilon^{\mu} | \ll 1 </math>. Инвариантной инфинитезимальной нормой этого вектора будет действительное число, обозначаемое <math> ds^2 </math>, называемое квадратом интервала, и равное:
<math> ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ \epsilon^{\mu} \ \epsilon^{\nu}</math>. |
Если обозначить компоненты вектора элементарного перемещения «по-физически» <math> \epsilon^{\mu} = dx^{\mu} </math>, инфинитезимальный квадрат длины (интервала) запишется формально как:
<math>ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x) \ dx^{\mu} \ dx^{\nu}</math> |
Внимание: в этой формуле, а также и далее, <math>dx^{\mu}</math> представляет собой действительное число, которое интерпретируется физически как «инфинитезимальное изменение» координаты <math>x^{\mu}</math>, а не как дифференциальная форма!
Лоренцева метрика
Уточним теперь выражение «лоренцева» (точнее локально лоренцева), которое означает, что метрический тензор имеет сигнатуру (1,3) и локально совпадает в первом порядке с лоренцевой метрикой специальной теории относительности. Принцип эквивалентности утверждает, что можно «стереть» локально поле гравитации, выбирая локально инерциальную систему координат. С математической точки зрения такой выбор является переформулировкой известной теоремы о возможности приведения квадратичной формы к главным осям.
В такой локально инерциальной системе координат <math> X^{\alpha} </math> инвариант <math> ds^2 </math> в точке <math> P </math> запишется как:
<math>ds^2 \ = \ \eta_{\alpha \beta} \ dX^{\alpha} \ d X^{\beta} \ = \ - \ c^2 \, dT^2 \, + \, dX^2 \, + \, dY^2 \, + \, dZ^2,</math> |
где <math>\eta_{\alpha\beta}</math> является метрикой пространства-времени Минковского, а в малой окрестности этой точки
<math>ds^2 \ = \ (\eta_{\alpha \beta}+\delta_{\alpha \beta}) \ dX^{\alpha} \ d X^{\beta},</math> |
где <math>\delta_{\alpha\beta}</math> имеет минимум второй порядок малости по отклонениям координат от точки <math> P </math>, то есть <math>\delta_{\alpha\beta}|_{P}=0,\ \left.\frac{\partial \delta_{\alpha\beta}}{\partial X^\alpha}\right|_{P}=0</math>. Принимая соглашение знаков Мизнера, Торна и Уилера, имеем[1]:
<math>\eta_{\alpha \beta} \ = \ \mathrm{diag} \ ( -1, \, +1, \, +1, \, +1 \, )</math> |
Далее используются следующие обычные соглашения:
- греческие индексы меняются от 0 до 3. Они соответствуют величинам в пространстве-времени.
- латинские индексы меняются от 1 до 3. Они соответствуют пространственным составляющим величин в пространстве-времени.
Например, 4-вектор положения запишется в локально инерциальной системе координат как:
<math> X^{\alpha} \ = \ \left( \begin{matrix} X^{0} \\ X^{i} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} X^{0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\ X^{3} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} c \, T \\ X \\ Y \\ Z \end{matrix} \right). </math> |
Внимание: на самом деле конечные, а не инфинитезимальные приращения координат не образуют вектора. Вектор из них возникает лишь в однородном пространстве нулевой кривизны и тривиальной топологии.
Лоренцев характер многообразия <math>M^{}</math> обеспечивает, таким образом, то, что касательные к <math>M^{}</math> в каждой точке псевдоевклидова пространства будут обладать псевдоскалярными произведениями («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора)) с тремя строго положительными собственными значениями (соответствующими пространству) и одним строго отрицательным собственным значением (соответствующим времени). В частности, элементарный интервал «собственного времени», отделяющий два последовательных события, всегда:
<math> d \tau^2 \ = \ - \frac{ds^2}{c^2} \ > \ 0. </math> |
Общие понятия аффинной связности и ковариантной производной
Обобщенно, аффинной связностью называется оператор <math> \nabla </math>, который приводит в соответствие векторному полю <math> \mathbf V </math> из касательного пучка <math> TM </math> поле эндоморфизмов <math> \nabla \mathbf V </math> этого пучка. Если <math> {\mathbf w} \in T_xM </math> — касательный вектор в точке <math> x \in M </math>, обычно обозначают
<math> \nabla_{\mathbf w} \ \mathbf V(x) \ = \ \nabla \mathbf V(x,\mathbf w).</math> |
Говорят, что <math> \nabla_{\mathbf w} \mathbf V </math> является «ковариантной производной» вектора <math>\mathbf V </math> в направлении <math> {\mathbf w} </math>. Предположим к тому же, что <math> \nabla \mathbf V </math> удовлетворяет дополнительному условию: для любой функции f справедливо
<math>\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V </math> |
Ковариантная производная удовлетворяет следующим двум свойствам линейности:
- линейность по w, то есть, какими бы ни были поля векторов w и u и действительные числа a и b, мы имеем:
<math>\nabla_{(a \mathbf w + b \mathbf u)} \mathbf V \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ b \ \nabla_{\mathbf u} \mathbf V.</math> |
- линейность по V, то есть, какими бы ни были поля векторов X и Y и действительные числа a и b, мы имеем:
<math>\nabla_{\mathbf w} (a\mathbf X + b\mathbf Y) \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf X \ + b \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf Y.</math> |
Как только ковариантная производная определена для полей векторов, она может быть распространена на тензорные поля с использованием правила Лейбница: если <math> \mathbf T </math> и <math> \mathbf S </math> — два любых тензора, то по определению:
<math>\nabla_{\mathbf w}(\mathbf T \otimes \mathbf S) \ = \ (\nabla_{\mathbf w} \mathbf T )\otimes \mathbf S \ + \ \mathbf T \otimes(\nabla_{\mathbf w} \mathbf S)</math> |
Ковариантная производная поля тензора вдоль вектора w есть снова поле тензора того же типа.
Связность, ассоциированная с метрикой
Можно доказать, что связность, ассоциированная с метрикой — связность Леви-Чивиты [1], является единственной связностью, помимо предыдущих условий дополнительно обеспечивающей то, что для любых полей векторов X, Y, Z из TM
- <math>\nabla_{\mathbf X}(\mathbf g(\mathbf Y,\mathbf Z)) \ = \ \mathbf g(\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y,\mathbf Z) \ + \ \mathbf g(\mathbf Y,\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z)</math> (метричность — тензор неметричности равен нулю).
- <math>\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \mathbf X \ = \ [\mathbf X, \mathbf Y]</math>, где <math>[\mathbf X,\mathbf Y]</math> — коммутатор Ли от X и Y (отсутствие кручения — тензор кручения равен нулю).
Описание в координатах
Ковариантная производная вектора есть вектор, и, таким образом, она может быть выражена как линейная комбинация всех базисных векторов:
<math>\nabla_{\mathbf w} V \ = \ \left[ \, \nabla_{\mathbf w} V \, \right]^\rho \ \mathbf e_\rho \ = \ \Gamma^\rho \ \mathbf e_\rho,</math> |
где <math> \Gamma^\rho </math> представляют собой компоненты вектора ковариантной производной в направлении <math> \mathbf e_\rho </math> (эта составляющая зависит от выбранного вектора w).
Чтобы описать ковариантную производную, достаточно описать её для каждого из базисных векторов <math> \mathbf e_\nu </math> вдоль направления <math> \mathbf e_\mu </math>. Определим тогда символы Кристоффеля (или просто кристоффели) <math> \Gamma^\rho {}_{\mu \nu}, </math> зависящие от 3 индексов[4]
<math> \nabla_{\mu} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \nabla_{{\mathbf e}_{\mu}} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho</math> |
Связность Леви-Чивиты полностью характеризуется своими символами Кристоффеля. Согласно общей формуле
<math>\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V </math> |
для вектора V:
<math>\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \nabla_{\mu} (V^\nu \mathbf e_\nu) \ = \ V^\nu \ (\nabla_{\mu} \mathbf e_\nu ) \ + \ dV^\nu(\mathbf e_\mu) \ \mathbf e_\nu. </math> |
Зная, что <math> dV^\nu (\mathbf e_\mu) = \partial_\mu V^\nu </math>, получаем:
<math>\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ V^\nu \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho \ + \ \partial_\mu V^\nu \ \mathbf e_\nu </math> |
Первый член этой формулы описывает «деформацию» системы координат по отношению к ковариантной производной, а второй — изменения координат вектора V. При суммировании по немым индексам мы можем переписать это соотношение в форме
<math>\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \left[ \, V^\rho \ \Gamma^\nu {}_{\mu \rho} \ + \ \partial_\mu V^\nu \, \right] \ \mathbf e_\nu </math> |
Из этого получаем важную формулу для компонент:
<math>\nabla_{\mu} \mathbf{V}^{\nu} \ = \ \left[ \, \nabla_{\mu} \mathbf{V} \, \right]^{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V^{\nu} \ + \ \Gamma_{~ \mu \rho}^{\nu} \ V^{\rho} </math> |
Используя формулу Лейбница, таким же образом можно продемонстрировать, что:
<math> \nabla_{\mu} \mathbf{V}_{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V_{\nu} \ - \ \Gamma_{~ \mu \nu}^{\rho} \ V_{\rho}. </math> |
Чтобы вычислить эти составляющие в явной форме, выражения для символов Кристоффеля должны быть определены, исходя из метрики. Их легко получить, написав следующие условия:
<math> \nabla_{\mu} \ \mathbf{g}_{\nu \rho} \ = \ 0. </math> |
Расчёт этой ковариантной производной приводит к
<math>\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ g^{\mu \nu} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right), </math> |
где <math>g^{\mu \nu}\ </math> — компоненты «обратного» метрического тензора, определенные уравнениями
<math>g^{\mu \nu} \ g_{\nu \rho} \ = \ \delta^\mu{}_\rho </math> |
Символы Кристоффеля «симметричны»[5] по отношению к нижним индексам: <math>\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma}=\Gamma^\mu {}_{\sigma \rho}.\ </math>
Замечание: иногда определяются также следующие символы:
<math>\Gamma_{\nu \rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right) </math> |
получаемые как:
<math>\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ g^{\mu \nu} \ \Gamma_{\nu \rho \sigma}</math> |
Тензор кривизны Римана
Тензор кривизны Римана R — тензор 4-й валентности, определённый для любых векторных полей X, Y, Z из M как
<math>\mathbf R(\mathbf X,\mathbf Y)\mathbf Z \ = \ \nabla_{\mathbf X} \, (\nabla_{\mathbf Y} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \, (\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{[\mathbf X,\mathbf Y]} \mathbf Z\; .</math> |
Его компоненты в явной форме выражаются из метрических коэффициентов:
<math> R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ \frac{1}{2}\left( \partial^2_{ \nu \rho } g_{ \mu \sigma } \ + \ \partial^2_{ \mu \sigma } g_{ \nu \rho } \ - \ \partial^2_{ \nu \sigma } g_{ \mu \rho } \ - \ \partial^2_{ \mu \rho } g_{ \nu \sigma } \right) \ +</math> |
<math> + \ g_{ \lambda \tau } \left( \Gamma^\lambda {}_{ \nu \rho } \Gamma^\tau {}_{ \mu \sigma } \ - \ \Gamma^\lambda {}_{ \nu \sigma } \Gamma^\tau {}_{ \mu \rho } \right)\;.</math> |
Симметрии этого тензора:
<math>R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ R_{ \rho \sigma \mu \nu }\;, </math> |
<math>R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{ \nu \mu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{\mu \nu \sigma \rho }\;. </math> |
Он удовлетворяет также следующему соотношению:
<math>R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ + \ R_{ \mu \sigma \nu \rho } \ + \ R_{ \mu \rho \sigma \nu } \ = \ 0. </math> |
Тензор кривизны Риччи
Тензор Риччи — тензор валентности 2, определенный свёрткой тензора кривизны Римана
<math>R_{\mu \nu} \ = \ g^{\rho \sigma} \ R_{\rho \mu \sigma \nu} \ = \ R^\sigma_{~ \mu \sigma \nu} \; .</math> |
Его компоненты в явном виде через символы Кристоффеля:
<math>R_{\mu \nu} \ = \ \partial_{\rho} \Gamma^{\rho} {}_{\mu \nu} \ - \ \partial_{\nu} \Gamma^{\rho} {}_{\mu \rho} \ + \ \Gamma^{\rho} {}_{\mu \nu} \Gamma^{\sigma} {}_{\rho \sigma} \ - \ \Gamma^{\sigma} {}_{\mu \rho}\Gamma^{\rho} {}_{\nu \sigma} \; .</math> |
Этот тензор симметричен: <math> R_{\mu\nu} \ = \ R_{\nu \mu} \ </math>.
Скалярная кривизна
Скалярная кривизна является инвариантом, определяемым свёрткой тензора Риччи с метрикой
<math>R \ = \ g^{\mu \nu} \ R_{\mu \nu} \ = \ R^\nu_{~ \nu}. </math> |
Уравнения Эйнштейна
Шаблон:Основная Уравнения гравитационного поля, которые называются уравнениями Эйнштейна, записываются так
<math> R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R \ + \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu}, </math> |
или так
<math> G_{\mu \nu} \ + \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu}, </math> |
где <math> \Lambda </math> — космологическая константа, <math> c </math> — скорость света в вакууме, <math> G </math> — гравитационная постоянная, которая появляется также в законе всемирного тяготения Ньютона, <math>G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R</math> — тензор Эйнштейна, а <math> T_{\mu\nu} </math> — тензор энергии-импульса.
Симметричный тензор <math> g_{\mu\nu} </math> имеет только 10 независимых составляющих, тензорное уравнение Эйнштейна в заданной системе координат эквивалентно системе 10 скалярных уравнений. Эта система 10 связанных нелинейных уравнений в частных производных в большинстве случаев очень трудна для изучения.
Тензор энергии-импульса
Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:
<math> T_{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix}
T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\ T_{10} & T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{20} & T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{matrix} \right). </math> |
В нём обнаруживаются следующие физические величины:
- T00 — объёмная плотность энергии. Она должна быть положительной.
- T10, T20, T30 — плотности компонент импульса.
- T01, T02, T03 — компоненты потока энергии.
- Под-матрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент:
<math> T_{ik} \ = \ \left( \begin{matrix}
T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{matrix} \right) </math> |
— матрица потоков импульсов. В механике жидкости диагональные компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.
Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице <math>{\rm{diag}}({{\rho}c^2},~p,~p,~p)</math>, где <math>{\rho}</math> есть плотность массы, а <math>p</math> — гидростатическое давление.
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 C. W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler ; Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0. или Ч. МИЗНЕР, К. ТОРН, Дж. УИЛЕР. ГРАВИТАЦИЯ. том I—III. М. Мир, 1977.
- ↑ Далее мы везде не пишем индекс 4, уточняющий размерность многообразия «M».
- ↑ Более точно, они должны быть по крайней мере класса C².
- ↑ Внимание, символы Кристоффеля не являются тензорами.
- ↑ Слово «симметричны» взято в кавычки, так как эти индексы в силу своего происхождения — не тензорные.