Русская Википедия:Математический маятник

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Другие значения

Файл:Pendulo simples.jpg
Математический маятник. Чёрный пунктир — положение равновесия, <math>\theta</math> — угол отклонения от вертикали в некоторый момент

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения[1]. Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины L, подвешенного в поле тяжести, равен

<math>T_0 = 2\pi \sqrt{L \over g}</math>

и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь g — ускорение свободного падения.

Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный физический маятник при малых амплитудах колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Характер движения маятника

Математический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам).

При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса <math>L</math>, а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса[1]. Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее.

Уравнение колебаний маятника

Файл:Simple-Pendulum-Labeled-Diagram.png
Маятник (схема с обозначениями)

Если в записи второго закона Ньютона <math> m\vec{a} = \vec{F}</math> для математического маятника выделить тангенциальную составляющую (<math> ma_{\tau} = F_{\tau})</math>, получится выражение

<math> mL\ddot \theta = -mg\sin\theta </math>,

так как <math>a_{\tau} = \dot v = d/dt(Ld\theta/dt)</math>, а из действующих на точку сил тяжести и натяжения ненулевую компоненту <math>F_{\tau}</math> даёт только первая. Следовательно, колебания маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида

<math>\ddot \theta + \frac{g}{L} \sin\theta = 0</math>,

где неизвестная функция <math>\theta(t)</math> ― это угол отклонения маятника в момент <math>t</math> от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах, <math>L</math> ― длина подвеса, <math>g</math> ― ускорение свободного падения. Предполагается, что потерь энергии в системе нет. В области малых углов <math>\sin\theta\approx\theta</math> это уравнение превращается в

<math>\ddot \theta + \frac{g}{L} \theta = 0</math>.

Для решения ДУ второго порядка, то есть для определения закона движения маятника, необходимо задать два начальных условия — угол <math>\theta</math> и его производную <math>\dot\theta</math> при <math>t=0</math>.

Решения уравнения движения

Возможные типы решений

В общем случае решение ДУ с начальными условиями для маятника может быть получено численно. Варианты движения (в случае, если маятник — это материальная точка на лёгком стержне), качественно, представлены на анимации. В каждом окне вверху показана зависимость угловой скорости <math>\dot\theta</math> от угла <math>\theta</math>. По мере нарастания размаха поведение маятника всё сильнее отклоняется от режима гармонических колебаний.

Гармонические колебания

Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия, когда уместна замена <math>\sin\theta\approx\theta</math>, называется гармоническим уравнением:

<math>\ddot \theta + \omega_0^2 \theta = 0</math>,

где <math>\omega_0 = \sqrt{g/L}</math> ― положительная константа, определяемая только из параметров маятника и имеющая смысл собственной частоты колебаний. Кроме того, может быть осуществлён переход к переменной «горизонтальная координата» <math>x = L\sin\theta\approx L\theta</math> (ось <math>x</math> лежит в плоскости качания и ортогональна нити в нижней точке):

<math>\ddot x + \omega_0^2 x = 0</math>.

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону[2]:

<math>x = A \sin(\omega_0 t + \alpha)</math>,

где <math>A</math> — амплитуда колебаний маятника, <math>\alpha</math> — начальная фаза колебаний.

Если пользоваться переменной <math>x</math>, то при <math>t=0</math> необходимо задать координату <math>x_0</math> и скорость <math>v_{x0}</math>, что позволит найти две независимые константы <math>A</math>, <math>\alpha</math> из соотношений <math>x_0 = A\sin\alpha</math> и <math>v_{x0} = A\omega_0\cos\alpha</math>.

Случай нелинейных колебаний

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

<math>\sin \frac{\theta}{2} = \varkappa \cdot \operatorname{sn}(\omega_0 t; \varkappa),</math>

где <math>\operatorname {sn}</math> — это синус Якоби. Для <math>\varkappa < 1</math> он является периодической функцией, при малых <math>\varkappa</math> совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр <math>\varkappa</math> определяется выражением

<math>\varkappa = \frac{\varepsilon+\omega_0^2}{2\omega_0^2},\quad \varepsilon = \frac{E}{mL^2}</math>.

Период колебаний нелинейного маятника составляет

<math>T = \frac{2\pi}{\Omega}, \quad \Omega = \frac{\pi}{2}\frac{\omega_0}{K(\varkappa)}</math>,

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

<math>T = T_0 \left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \sin^{2}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \sin^{4}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \dots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \sin^{2n}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \dots \right\}

</math> где <math>T_0 = 2\pi \sqrt\frac{L}{g}</math> — период малых колебаний, <math>\theta_0</math> — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈ 60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

<math>T = T_0 \left( 1 + \frac{1}{4}\sin^{2}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right)</math>.

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года[3]:

<math>T = \frac{2\pi}{M\big(\cos(\theta_0/2)\big)} \sqrt\frac{L}{g}</math>,

где <math>M(s)</math> — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и <math>s</math>.

Движение по сепаратрисе

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.

Факты

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

  • Если амплитуда колебания маятника близка к <math>\pi</math>, то есть движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения[4].
  • Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
  • В условиях вращения Земли при достаточно длинной нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 Шаблон:Книга — Статья в Физическом энциклопедическом словаре
  2. ↑ Скорость и ускорение маятника при гармонических колебаниях также изменяются во времени по синусоидальному закону.
  3. ↑ Шаблон:Статья
  4. ↑ Шаблон:Статья
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Математический_маятник&oldid=10349699