Русская Википедия:Математическое совпадение

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Математическое совпадение — ситуация, когда два выражения дают почти одинаковые значения, хотя теоретически это совпадение никак объяснить нельзя. Например, существует близость круглого числа 1000, выраженного как степень 2 и как степень 10: <math>2^{10} = 1024 \approx 1000 = 10^3</math>. Некоторые математические совпадения используется в инженерном деле, когда одно выражение используется как приближение другого.

Введение

Математическое совпадение часто связано с целыми числами, и удивительные («случайные») примеры отражают факт, что вещественные числа, возникающие в некоторых контекстах, оказываются по некоторым стандартам «близкой» аппроксимацией малых целых чисел или степени десятки, или, более общо, рационального числа с малым знаменателем. Другой вид математических совпадений, таких как целые числа, одновременно удовлетворяющие нескольким, внешне не связанным, критериям или совпадения, относящиеся к единицам измерения. В классе чисто математических совпадений некоторые простые результаты имеют глубокое математическое основание, в то время как другие появляются «нежданно-негаданно».

Если дано счётное число путей образования математических выражений, использующих конечное число символов, совпадение числа используемых символов и точности приближения может быть наиболее очевидным путём получения математического совпадения. Стандарта, однако, нет и Шаблон:Не переведено 5 является видом аргумента, к которому прибегают, когда нет формального математического понимания. Необходимо некоторое эстетическое математическое чувство для вынесения решения о значении математического совпадения, является ли это исключительным явлением, либо это важный математический факт (например, Шаблон:Не переведено 5 ниже о константе, которая появилась в печати несколько лет назад как научная первоапрельская шуткаШаблон:Sfn). Подводя итог, эти случайные совпадения рассматриваются из-за их курьёзности или для ободрения любителей математики на элементарном уровне.

Некоторые примеры

Рациональные приближения

Иногда простые рациональные приближения исключительно близки к интересным иррациональным значениям. Факт объясним в терминах представления иррациональных значений непрерывными дробями, но почему эти невероятные совпадения случаются, часто остаётся неясным.

Часто используется рациональное приближение (непрерывными дробями) к отношению логарифмов различных чисел, что даёт (приближённое) совпадение степеней этих чиселШаблон:Sfn.

Некоторые совпадения с числом <math>\pi</math>:

  • первая подходящая дробь числа <math>\pi</math>, [3; 7] = 22/7 = 3,1428…, известна с времён Архимеда Шаблон:Sfn, и даёт точность около 0,04 %. Третья подходящая дробь, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929…, которую нашёл Цзу Чунчжи Шаблон:Sfn, верна до шести десятичных знаковШаблон:Sfn. Эта высокая точность получается из-за того, что следующий член непрерывной дроби имеет необычно большое значение: <math>\pi</math>= [3; 7, 15, 1, 292, …]Шаблон:Sfn;
  • совпадение, в котором участвует <math>\pi</math> и золотое сечение φ, задаётся формулой <math>\pi \approx 4 / \sqrt{\varphi} = 3,1446\dots</math>. Это соотношение связано с треугольником Кеплера; некоторые исследователи считают, что это совпадение найдено в пирамидах Гизы, но крайне невероятно, что оно является преднамереннымШаблон:Sfn;
  • существует последовательность шести девяток, которая начинается с 762-й позиции десятичного представления числа <math>\pi</math>. Для случайно выбранного нормального числа вероятность любой выбранной последовательности шести цифр (например, 658 020) встречается редко в десятичном представлении, только 0,08 %. Есть гипотеза, что <math>\pi</math> является нормальным числом, но это не доказано;
  • <math>\frac{5}{6}\pi\approx\varphi^2</math>; верно с точностью до 0,002 %.

Совпадения с числом <math>e</math>:

  • последовательность цифр «1828» повторяется дважды близко к началу десятичного представления числа <math>e</math> = 2,7 1828 1828….[1];
  • существует последовательность цифр «99 999 999» среди первых 500 тыс. знаков числа <math>e</math>[2].

Также широко используется совпадение <math>2^{10} = 1024 \approx 1000 = 10^3</math>, верное с точностью 2,4 %. Рациональное приближение <math>\textstyle\frac{\log10}{\log2} \approx 3{,}3219 \approx \frac{10}{3}</math>, или <math> 2 \approx 10^{3/10}</math> совпадает с точностью до 0,3 %. Это совпадение используется в инженерных раcчётах для приближения удвоенной мощности как 3 децибела (фактическое значение равно 3,0103 dB — Шаблон:Не переведено 5), либо для перевода кибибайтов в килобайты Шаблон:SfnШаблон:Sfn. Это же совпадение можно переписать как <math>128 = 2^7 \approx 5^3 = 125</math> (исключаем общий множитель <math>2^3</math>, так что относительная погрешность остаётся той же самой, 2,4 %), что соответствует рациональному приближению <math>\textstyle\frac{\log5}{\log2} \approx 2,3219 \approx \frac{7}{3}</math>, или <math> 2 \approx 5^{3/7}</math> (также в пределах 0,3 %). Это совпадение используется, например, для установки выдержки в камерах как приближение степеней двойки (128, 256, 512) в последовательности выдержек 125, 250, 500, и так далееШаблон:Sfn.

Совпадения с музыкальными интервалами

Совпадение <math>2^{19} \approx 3^{12}</math>, <math>\frac{\log3}{\log2} \approx 1,5849\dots \approx \frac{19}{12}</math> обычно используется в музыке при настройке 7 полутонов равномерно темперированного строя в чистую квинту натурального строя: <math>2^{7/12}\approx 3/2;</math>, что совпадает с точностью до 0,1 %. Чистая квинта служит основой пифагорова строя и является наиболее распространённой системой в музыке. Из вытекающей аппроксимации<math>{(3/2)}^{12}\approx 2^7</math> следует, что квинтовый круг завершается на семь октав выше началаШаблон:Sfn.

Совпадение <math>\sqrt[12]{2}\sqrt[7]{5} = 1,33333319\ldots \approx \frac43</math> приводит к рациональной версии 12-TET ладов, как заметил Иоганн Кирнбергер.

Совпадение <math>\sqrt[8]{5}\sqrt[3]{35} = 4,00000559\ldots \approx 4</math> приводит к рациональной версии темперации среднетонового строя на 1/4 коммы.

Совпадение <math>\sqrt[9]{0,6}\sqrt[28]{4,9} = 0,99999999754\ldots \approx 1</math> ведёт к очень маленькому интервалу <math>2^{9}3^{-28}5^{37}7^{-18}</math> (около миллицента).

Совпадение со степенью 2 приводит к тому, что три большие терции составляют октаву, <math>{(5/4)}^{3} \approx {2/1}</math>. Это и другие похожие приближения в музыке называются диесами.

Числовые выражения

Выражения со степенями <math>\pi</math>:

  • <math>\pi^2\approx 10</math> с точностью около 1,3 %[3] Это можно понять в терминах формулы дзета-функции <math>\zeta(2)=\pi^2/6</math>[4], это совпадение использовалось при разработке логарифмических линеек, когда шкала начинается с <math>\pi</math>, а не с <math>\sqrt{10}</math>;
  • <math>\pi^2\approx 227/23</math> с точностью до 0,0004 %[3];
  • <math>\pi^3\approx 31</math> с точностью до 0,02 %;
  • <math>\sqrt[5]{\pi^3+1}\approx 2</math> с точностью до 0,004 %;
  • <math>\pi\approx\left(9^2+\frac{19^2}{22}\right)^{1/4}</math> или <math>22\pi^4\approx 2143</math>[5] с точностью до 8 десятичных знаков[6];
<math> \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3,1415926525 \dots </math>;
<math> \sqrt[5]{306} = 3,14155 \dots </math>;
<math> \sqrt[6]{\frac{17305}{18}} = 3,1415924 \dots </math>;
<math> \sqrt[7]{\frac{21142}{7}} = 3,14159 \dots </math>;

Некоторые правдоподобные связи выполняются с высокой степени точности, но тем не менее остаются совпадениями. Примером служит:

<math>

\int_0^\infty \cos(2x)\prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{n}\right)\mathrm{d}x \approx \frac{\pi}{8} </math>.

Две стороны этого выражения отличаются лишь в 42-м десятичном знаке[7].

Выражения со степенями <math>\pi</math> и <math>e</math>:

  • <math>\pi^4+\pi^5\approx e^6</math>, с точностью 0,000 005 %[5];
  • <math>\sqrt[4]{3^3 e^\pi}</math> очень близко к 5, точность около 0,008 %;
  • <math>{ 3 }^{ \frac { \pi +e }{ 4 } }</math> очень близко к 5, точность около 0,000 538 %[8];
  • <math>e^\pi - \pi\approx 19,99909998 </math> очень близко к 20[9], это совпадение эквивалентно <math>(\pi+20)^i=-0,999 999 999 2\ldots -i\cdot 0,000 039\ldots \approx -1</math>[5];
  • <math> \pi^{3^2}/e^{2^3}=9,9998\ldots\approx 10</math>[5].

Выражения с <math>\pi</math>, <math>e</math> и 163:

  • <math>{163}\cdot (\pi - e) \approx 69</math> с точностью 0,0005 %][5];
  • <math>\frac{163}{\ln 163} \approx 2^{5}</math> с точностью 0,000004 %][5];
  • Шаблон:Не переведено 5: <math>e^{\pi\sqrt{163}} \approx (2^6\cdot 10005)^3+744</math>, точность <math>2,9\cdot 10^{-28}\%</math>, открытая в 1859 году Шарлем ЭрмитомШаблон:Sfn, не является необъяснимым случайным математическим совпадением, поскольку является следствием того, что 163 является числом Хегнера.

Выражение с логарифмами:

  • <math>\ln 2\approx \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{2}{5}}</math> (точность 0,00024 %).

В обсуждении парадокса дней рождения возникает число <math>\lambda=\frac{1}{365}{23\choose 2}=\frac{253}{365}</math>, которое «забавно» равно <math>\ln(2)</math> с точностью до 4 знаковШаблон:Sfn.

Числовые совпадения в физическом мире

Длина шести недель

Число секунд в шести неделях, или 42 днях, равно в точности 10! (факториал) секунд (так как <math>24 = 4!</math>, <math>42 = 6 \cdot 7</math> и <math>60^2 = 5 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10</math>). Многие заметили это совпадение, в частности, число 42 имеет важное значение в романе Дугласа Адамса «Автостопом по галактике».

Скорость света

Скорость света (по определению) равна в точности Шаблон:Число м/с, очень близко к Шаблон:Число м/с. Это чисто совпадение, поскольку метр был первоначально определён как 1/Шаблон:Число расстояния между земным полюсом и экватором на уровне моря, длина земной окружности получилась около 2/15 световой секунды[10].

Гравитационное ускорение

Шаблон:См. также Не являясь константной, а зависящей от широты и долготы, числовое значение ускорение свободного падения на поверхности лежит между 9,74 и 9,87, что достаточно близко к 10. Это означает, что в результате второго закона Ньютона вес килограмма массы на земной поверхности Земли соответствует примерно 10 ньютонам приложено на объект силы Шаблон:Sfn.

Это совпадение на самом деле связано с вышеупомянутым совпадением квадрата <math>\pi</math> с 10. Одно из ранних определений метра — длина маятника, период колебания которого равна двум секундам. Поскольку период полного колебания примерно задаётся формулой ниже, после алгебраических выкладок, получим, что гравитационная постоянная равна квадрату <math>\pi</math>[11]

<math>T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g}</math>

Когда было обнаружено, что длина окружности Земли очень близка Шаблон:Число метрам, определение метра было изменено, чтобы отразить этот факт, поскольку это был более объективный стандарт (гравитационная постоянная на поверхности Земли не постоянна). Это привело к увеличению длины метра чуть меньше чем на 1 %, что попадало в пределы экспериментальных ошибок измерения.

Ещё одно совпадение — что величина g, равная примерно 9,8 м/с2, равна 1,03 светового года/год2, что близко к 1. Это совпадение связано с фактом, что g близко к 10 в системе единиц СИ (м/с2), как упоминалось выше, вместе с фактами, что число секунд в году близко к численному значению c/10, где c — скорость света в м/с.

Константа Ридберга

Постоянная Ридберга, умноженная на скорость света и выраженная как частота, близка к <math>\frac{\pi^2}{3}\times 10^{15}</math>Гц:[10]

<math>\underline{3,2898}41960364(17) \times 10^{15}</math>Гц <math>= R_\infty c</math> Шаблон:Sfn.
<math>\underline{3,2898}68133696\ldots = \frac{\pi^2}{3}</math>

Постоянная тонкой структуры

Постоянная тонкой структуры <math>\alpha</math> близка к <math>\frac1{137}</math> и была гипотеза, что она в точности равна <math>\frac1{137}</math>.

<math>\alpha = \frac1{137,035999074\dots}</math>

Хотя это совпадение не столь строго, как некоторые выше, замечательно, что <math>\alpha</math> является безразмерной константой, так что это совпадение не связано с используемой системой мер.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ В 1828 году родился Лев Толстой, это позволяет запомнить число e с точностью до 10 знаков.
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ 3,0 3,1 Frank Rubin, The Contest Center — Pi Шаблон:Wayback.
  4. ↑ Why is <math>\pi^2</math> so close to 10? Шаблон:Wayback (Почему <math>\pi^2</math> так близок к 10?), Noam Elkies
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 Шаблон:MathWorld
  6. ↑ согласно Рамануджану: Quarterly Journal of Mathematics, XLV, 1914, pp. 350—372. Рамануджан утверждает, что эта «любопытная аппроксимация» для <math>\pi</math> была «получена эмпирически» и не имеет связи с теорией, которая развивалась в статье
  7. ↑ Шаблон:Cite web
  8. ↑ Joseph Clarke, 2015)
  9. ↑ Конвей, Слоун, Плоуф, 1988
  10. ↑ 10,0 10,1 Шаблон:Cite web
  11. ↑ Шаблон:Cite web
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Математическое_совпадение&oldid=10349716