Русская Википедия:Матрица Картана
В математике термин матрица Картана имеет три значения. Все они названы по имени французского математика Эли Картана. Фактически, матрицы Картана в контексте алгебр Ли впервые исследовал Вильгельм Киллинг, в то время как форма Киллинга принадлежит Картану.
Алгебры Ли
Обобщённая матрица Картана — это квадратная матрица <math>A = (a_{ij})</math> с целыми элементами, такая что
- Диагональные элементы aii = 2.
- Недиагональные элементы <math>a_{ij} \leq 0 </math>.
- <math>a_{ij} = 0</math> тогда и только тогда, когда <math>a_{ji} = 0</math>.
- A может быть записана в виде DS, где D — диагональная матрица, а S является симметричной.
Например, матрицу Картана для G2 можно разложить следующим образом:
- <math>
\left [ \begin{smallmatrix} \;\,\, 2&-3\\ -1&\;\,\, 2 \end{smallmatrix}\right ]
= \left [
\begin{smallmatrix} 3&0\\ 0&1 \end{smallmatrix}\right ] \left [ \begin{smallmatrix} 2/3&-1\\ -1&\;2 \end{smallmatrix}\right ]. </math>
Третье условие не является независимым и является следствием первого и четвёртого условий.
Мы всегда можем выбрать D с положительными диагональными элементами. В этом случае, если S в разложении является положительно определённой, то говорят, что A является матрицей Картана.
Матрица Картана простой алгебры Ли — это матрица, элементы которой являются скалярными произведениями
- <math>a_{ij}=2 {(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}</math>
(иногда называемыми целыми числами Картана), где ri — система корней алгебры. Элементы являются целыми ввиду одного из свойств системы корней. Первое условие вытекает из определения, второе — из факта, что для <math>i\neq j, r_j-{2(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}r_i</math> является корнем, который является линейной комбинацией простых корней ri и rj с положительным коэффициентом для rj, а тогда коэффициент при ri должен быть неотрицательным. Третье условие верно ввиду симметричности отношения ортогональности. И, наконец, пусть <math>D_{ij}={\delta_{ij}\over (r_i,r_i)}</math> и <math>S_{ij}=2(r_i,r_j)</math>. Поскольку простые корни линейно независимы, то S является их матрицей Грама (с коэффициентом 2), а потому является положительно определённой.
И обратно, если дана обобщённая матрица Картана, можно найти соответствующую ей алгебру Ли (см. подробности в статье Шаблон:Не переведено 5).
Классификация
Матрица A размером <math>n \times n</math> является разложимой, если существует непустое подмножество <math>I \subset \{1,\dots,n\}</math> такое, что <math>a_{ij} = 0</math> для всех <math>i \in I</math> и <math>j \notin I</math>. A является неразложимой, если это условие не выполняется.
Пусть A — неразложимая обобщённая матрица Картана. Мы говорим, что A имеет конечный тип, если все её главные миноры положительны, что A имеет аффинный тип, если все её собственные главные миноры положительны и определитель матрицы A равен 0 и что A имеет неопределённый тип в остальных случаях.
Неразложимые матрицы конечного типа классифицируют простые группы Ли конечной размерности (типа <math>A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2 </math>), в то время как неразложимые матрицы аффинного типа классифицируют Шаблон:Не переведено 5 (над некоторыми алгебраически замкнутими полями с характеристикой 0).
Определители матриц Картана простых алгебр Ли
Определители матриц Картана простых алгебр Ли даны в таблице.
| <math>A_n</math> | <math>B_n</math>, <math> n\geq 2 </math> | <math>C_n</math>, <math> n\geq 2 </math> | <math>D_n</math>, <math> n\geq 4 </math> | <math>E_n</math>, <math> n=6,7,8 </math> | <math>F_4</math> | <math>G_2</math> |
| n+1 | 2 | 2 | 4 | 9-n | 1 | 1 |
Другое свойство этого определителя — он равен индексу ассоциированной системы корней, то есть он равен <math>|P/Q| </math>, где <math>P, Q </math> обозначают Шаблон:Не переведено 5 и корневую решётку соответственно.
Представления конечномерных алгебр
В Шаблон:Не переведено 5 и в более общей теории представлений конечномерных ассоциативных алгебр, не являющихся Шаблон:Не переведено 5, матрица Картана определяется путём рассмотрения (конечного) множества Шаблон:Не переведено 5 и написания Шаблон:Не переведено 5 для них в терминах простых модулей, получая матрицу целых чисел, содержащую число вхождений простого модуля.
Матрицы Картана в M-теории
В М-теории можно представить геометрию как предел двуциклов, которые пересекают друг друга в конечном числе точек, при стремлению площади двуциклов к нулю. В пределе возникает группа локальной симметрии. Матрица индексов пересечения базиса двуциклов, гипотетически, является матрицей Картана алгебры Ли этой группы локальной симметрии[1].
Это можно объяснить следующим образом: в M-теории имеются солитоны, являющиеся двумерными поверхностями, называемыми мембранами или 2-бранами. 2-браны имеют натяжение и потому стремятся к уменьшению, но они могут быть обёрнуты вокруг двуциклов, предотвращающих схлапывание мембран до нуля.
Можно осуществить Шаблон:Не переведено 5 одной размерности, в которой находятся все двуциклы и их точки пересечения, и взять предел, при котором размерность схлапывается до нуля, тем самым получая понижение по этой размерности. Тогда получаем теорию струн типа IIA как предел M-теории с 2-бранами, оборачивающими двуциклы, теперь представленными как открытые струны, натянутые между D-бранами. Имеется группа локальной симметрии U(1) для каждой D-браны, подобная степеням свободы движения без изменения ориентации. Предел, где двуциклы имеют нулевую площадь, является пределом, где эти D-браны находятся на вершине друг друга.
Открытая струна, натянутая между двумя D-бранами представляет генератор алгебры Ли, и коммутатор двух таких генераторов является третьим генератором, представленным открытой струной, который можно получить путём склеивания рёбер двух открытых струн. Дальнейшие связи между различными открытыми струнами зависит от способа, которым 2-браны могут пересекаться в исходной M-теории, то есть в числе пересечений двуциклов. Таким образом, алгебра Ли зависит полностью от этих чисел пересечения. Связь с матрицей Картана предполагается, потому что она описывает коммутаторы простых корней, которые связаны с двуциклами в выбранном базисе.
Заметим, что генераторы в подалгебре Картана представлены открытыми струнами, которые натянуты между D-браной и той же браной.
См. также
- Диаграмма Дынкина
- Шаблон:Не переведено 5
- Фундаментальное представление
- Форма Киллинга
- Простая группа Ли
Примечания
Литература
Ссылки
