Русская Википедия:Матрица Якоби

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Distinguish Шаблон:К объединению Матрица Яко́би отображения <math>\mathbf{u}\colon\R^n\to\R^m</math> в точке <math>x\in \R^n</math> описывает главную линейную часть произвольного отображения <math>\mathbf{u}</math> в точке <math>x</math>.

Определение

Пусть задано отображение <math>\mathbf{u}:\R^n\to\R^m, \mathbf{u}=(u_1, \ldots ,u_m)^T, u_i = u_i(x_1, \ldots , x_n), i = 1, \ldots , m ,</math> имеющее в некоторой точке <math> x </math> все частные производные первого порядка. Матрица <math>J</math>, составленная из частных производных этих функций в точке <math>x</math>, называется матрицей Якоби данной системы функций.

<math>

J(x) = \begin{pmatrix} {\partial u_1 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_1 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_1 \over \partial x_n}(x) \\ {\partial u_2 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_2 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_2 \over \partial x_n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ {\partial u_m \over \partial x_1}(x) & {\partial u_m \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_m \over \partial x_n}(x) \end{pmatrix} </math> Иными словами, матрица Якоби является производной векторной функции от векторного аргумента.

Связанные определения

• Если <math>m = n</math>, то определитель <math>|J|</math> матрицы Якоби называется определителем Якоби или якобиа́ном системы функций <math> u_1, \ldots, u_n </math>.
• Отображение называют невырожденным, если его матрица Якоби имеет максимально возможный ранг; то есть,

  <math>\mathrm{rank}\,J = \min(m,n)</math>

Свойства

• Если все <math>u_i</math> непрерывно дифференцируемы в окрестности <math>\mathbf{x}_0</math>, то

  <math>\mathbf{u}(x)=\mathbf{u}(x_0)+J(x_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)+o(|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|)</math>

• Пусть <math>\varphi\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m ,~\psi\colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k</math> — дифференцируемые отображения, <math>J_\varphi,J_\psi</math> — их матрицы Якоби. Тогда матрица Якоби композиции отображений равна произведению их матриц Якоби (свойство функториальности):

  <math>J_{\psi \circ \varphi}(x) = J_\psi(\varphi(x)) J_\varphi(x)</math>

См. также

• Якобиан