Русская Википедия:Матрица сопротивлений
Шаблон:TOC RightМатрица сопротивлений — матрица, применяемая для описания устройств СВЧ, связывающая линейной зависимостью комплексные амплитуды напряжений и силы тока в клеммных плоскостях эквивалентного многополюсника:
- <math>
Z = \begin{pmatrix} z_{11}, & z_{12}, & \cdots & z_{1N} \\ z_{21}, & z_{22}, & \cdots & z_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_{N1}, & z_{N2}, & \cdots & z_{NN} \\ \end{pmatrix} </math>
Устройство СВЧ как многополюсник
Описание устройства СВЧ может производиться без учёта его внутренней структуры и геометрии. Для инженерного расчёта любое линейное пассивное устройство может быть представлено в виде «чёрного ящика» — многополюсника, каждая пара клемм которого представляет определённый тип волн во всех линиях передачи, подключённых к этому устройству. На каждом входе эквивалентного многополюсника можно определить комплексные амплитуды напряжения и силы тока. Чаще всего ток и напряжение определяют через поперечные составляющие электрического и магнитного поля волны, распространяющейся в линии:
- <math>\; E_{n}=u_ne_n</math>
- <math>\; H_{n}=i_nh_n</math>
Здесь <math>\;e_n</math> и <math>\;h_n</math> — собственные функции поперечных составляющих основных волн в n-входной линии. Напряжения <math>\;u_n</math> и токи <math>\;i_n</math> входят в нормированной форме:
- <math>u_n = U_n/\sqrt{W_n}</math> [Вт½]
- <math>i_n = I_n\sqrt{W_n}</math> [Вт½]
<math>\;W_n</math> — характеристическое сопротивление основной волны в линии. Напряжение и ток в линии могут быть выражены через падающую и отражённую волны:
- <math>\;u_n = a_n + b_n</math>
- <math>\;i_n = a_n - b_n</math>
Падающая и отражённая волны также входят в нормированной форме и измеряются в Вт½.
- <math>\;a_n = \sqrt{P_{n\;in}}e^{i\varphi_{n\;in}}</math>
- <math>\;b_n = \sqrt{P_{n\;out}}e^{i\varphi_{n\;out}}</math>
Матричное уравнение
Представив множества токов и напряжений на всех входах многополюсника в виде векторов, можно записать матричое уравнение связи напряжений и токов:
- <math>
u=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n\end{pmatrix}; \;i=\begin{pmatrix}i_1\\i_2\\\vdots\\i_n\end{pmatrix} </math>
- <math>\;u=Zi</math>
В алгебраической форме запись приобретёт вид
- <math>\begin{cases}
u_1 = z_{11}i_1 + z_{12}i_2 + \ldots + z_{1N}i_N \\ u_2 = z_{21}i_1 + z_{22}i_2 + \ldots + z_{2N}i_N \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ u_N = z_{N1}i_1 + z_{N2}i_2 + \ldots + z_{NN}i_N
\end{cases}</math>
Физический смысл
Чтобы выяснить физический смысл элементов матрицы сопротивлений, необходимо организовать специальный тестовый режим измерения токов и напряжений многополюсника, называемый режимом холостого хода (Х.Х.).
Смысл диагональных элементов (znn) матрицы сопротивлений станет ясен, если создать электрический ток in ≠ 0 (подключить источник тока к n-му входу многополюсника) и создать режим Х.Х. на всех прочих входах (то есть разомкнуть все прочие k = 1...N, k ≠ n входы многополюсника). В этом случае сила тока ik на k-х (разомкнутых) входах будет равна нулю, а напряжение и сила тока для n-го входа будут связаны законом Ома: un = znnin. Из выражения видно, что каждый n-й диагональный элемент матрицы рассеяния имеет тот же смысл, что и электрическое сопротивление n-го входа при условии одновременного Х.Х. на всех прочих входах.
В рассмотренном тестовом режиме напряжения на всех (n-м и k-х) входах не будут равны нулю, они будут пропорциональны силе тока in, создаваемого подключенным к n-му входу источником: uk = zknin, k = 1, ... , n, ... , N. Из этого выражения видно, что все элементы матрицы рассеяния служат коэффициентами пропорциональности между силой тока in в n-м входе и напряжением uk на k-м входе и имеют разсмерость электрического сопротивления (Ом). Диагональные элементы называют собственными сопротивлениями входов, внедиагональные — вносимыми сопротивлениями (вносимыми в k-й вход из n-го входа, первый индекс — "куда", второй — "откуда"). Эти названия подчеркивают тот факт, что в общем случае, при протекании тока по всем N входам многоволюсника, напряжение un на каждом n-м входе зависит не только от силы тока in в этом входе (un пропорционально in, коэффициент пропорциональности — собственное сопротивление znn), но и от силы тока ik во всех прочих входах (un пропорционально также и ik, коэффициент пропорциональности — вносимое сопротивление znk). То есть напряжение на каждом входе не только зависит от "собственного" источника тока, но и "вносится" (наводится, получает добавку, зависит, изменяется) за счет протекания тока во всех прочих входах в силу наличия электрических межсоединений во внутренней электрической схеме многополюсника.
Таким образом, в целом матрица сопротивлений и матричное уравнение, связывающее напряжения и токи на входах многополюсника, являются обобщением закона Ома для участка цепи (то есть для двухполюсника) на случай многополюсника.
См. также
Литература
