Русская Википедия:Матрицы Гелл-Манна

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ма́трицы Гелл-Ма́нна — генераторы группы SU(3). Названы по имени Мюррея Гелл-Манна. Всего их восемь:

<math>\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>	<math>\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>	<math>\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
<math>\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>	<math>\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
<math>\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math>	<math>\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}</math>	<math>\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}</math>

Каждому из восьми глюонов сопоставляется матрица Гелл-Манна.

Свойства

Произведение:

<math>\lambda_a \lambda_b = \frac{2}{3}\delta_{ab}\mathbf{E}+d_{abc}\lambda_c+i f_{abc}\lambda_c</math>,

где

• <math>d_{abc}, f_{abc}</math> — структурные константы алгебры su(3);
• <math>\mathbf{E}</math> — единичная матрица 3×3;
• <math>\delta_{ab}</math> — символ Кронекера.

След произведения:

<math> \operatorname{Sp}\; \lambda_a \lambda_b = 2 \delta_{ab} </math>,

Коммутатор:

<math>[\lambda_a,\lambda_b]_{-} = 2 i f_{abc}\lambda_c</math>

Антикоммутатор:

<math>[\lambda_a \lambda_b]_{+} = \frac{4}{3}\delta_{ab}\mathbf{E}+2 d_{abc}\lambda_c</math>

Также для матриц Гелл-Манна выполняются тождества Фирца.

См. также

• Тождества Фирца

Литература

• Шаблон:Из