Русская Википедия:Матрицы Паули
Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых и одновременно унитарных 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид
- <math>
\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}, </math>
- <math>
\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}, </math>
- <math>
\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}. </math>
Вместо <math>\sigma_1, \sigma_2,\sigma_3</math> иногда используют обозначение <math>\sigma_x, \sigma_y,\sigma_z</math> и <math>X, Y, Z</math>.
Часто также употребляют матрицу
- <math>
\sigma_0 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}, </math> совпадающую с единичной матрицей <math>I</math>, которую также иногда обозначают как <math>E</math>.
Матрицы Паули вместе с матрицей <math>\sigma_0</math> образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).
Свойства
Основные соотношения
- Эрмитовость: <math>\sigma_i^\dagger = \sigma_i;</math>
- Равенство нулю следа: <math>\operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0, \quad \ i = 1, 2, 3</math>
- <math>\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_0^2= I,</math> где <math>I= \sigma_0 </math> — единичная матрица размерности 2×2.
- Унитарность: <math>\sigma_i^\dagger = \sigma_i^{-1} = \sigma_i</math>
- Определитель матриц Паули равен −1.
- Алгебра, порождённая элементами <math>\sigma_0, -i\sigma_x, -i\sigma_y, -i\sigma_z</math>, изоморфна алгебре кватернионов <math>\lang 1,i,j,k\rang</math>.
Правила умножения матриц Паули
- <math>\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3,</math>
- <math>\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2,</math>
- <math>\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1,</math>
- <math>\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i</math> для <math>i\ne j.</math>
Эти правила умножения можно переписать в компактной форме
- <math>\sigma_i \sigma_j = i \varepsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} \cdot \sigma_0,\quad i,j,k = 1, 2, 3</math>,
где <math>\delta_{ij}</math> — символ Кронекера, а εijk — символ Леви-Чивиты.
Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения
- <math>\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k, \\ \{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot \sigma_0. \end{matrix}</math>
Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.
Также для матриц Паули выполняются тождества Фирца.
Связь с алгебрами Ли
Коммутационные соотношения матриц <math>i\sigma_k</math> совпадают с коммутационными соотношениями генераторов алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта алгебра, состоящая из антиэрмитовых матриц 2×2, может быть построена из произвольных линейных комбинаций матриц <math>i\sigma_k\;.</math> Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства; в частности этим объясняется важность матриц Паули для физики.
Применение в физике
В квантовой механике матрицы <math>i\sigma_j/2</math> представляют собой генераторы инфинитезимальных вращений для нерелятивистских частиц со спином ½. Элементы матрицы спинового оператора для частиц с полуцелым спином выражаются через матрицы Паули[1] как
<math>(s_x)_{\sigma,\sigma-1}=(s_x)_{\sigma-1,\sigma}=\frac{1}{2}\sqrt{(s+\sigma)(s-\sigma+1)}</math>
<math>(s_y)_{\sigma,\sigma-1}=-(s_y)_{\sigma-1,\sigma}=\frac{-i}{2}\sqrt{(s+\sigma)(s-\sigma+1)}</math>
<math>(s_z)_{\sigma\sigma}=\sigma</math>
Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор[2]. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).
См. также
Примечания
Литература
