Русская Википедия:Матричные игры

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В математике под матричными играми понимается игра двух лиц с нулевой суммой, имеющих конечное число стратегий. Выигрыш определяется матрицей игры (матрицей платежей), она же является Нормальной формой игры.

Матричная игра и линейное программирование

Пусть матричная игра задана множеством стратегий первого игрока <math>M</math>, множеством стратегий второго игрока <math>N</math> и матрицей платежей <math>A[M,N]</math>.

Рассмотрим две задачи линейного программирования

Задача 1

Найти максимум <math>1^T[N]y[N]</math>

При ограничениях

<math>A[M,N]y[N] \le 1[M]</math>

<math>y[N] \ge 0[N]</math>

Задача 2 (двойственная)

Найти минимум <math>1^T[M]x[M]</math>

При ограничениях

<math>A^T[N,M]x[M] \ge 1[N]</math>

<math>x[M] \ge 0[M]</math>

Известно, что следующие утверждения эквивалентны

1. Матричная игра имеет положительную цену игры

2. Задачи 1 и 2 разрешимы, при этом, если <math>v</math> — цена игры,

<math>x[M]</math> и <math>y[N]</math> — оптимальные решения,

то <math>1/v = 1^T[N]y[N] = 1^T[M]x[M]</math>

и <math>1^T[N]y[N]</math>, <math>1^T[M]x[M]</math> будут оптимальными смешанными стратегиями игроков.

Замечание: При <math>v <= 0</math> можно прибавить ко всем элементам матрицы (достаточно большую) константу, что не меняет стратегии игроков. Можно, например, найти минимальный элемент (отрицательный) и использовать его абсолютное значение в качестве добавки.

Ссылки

• Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике М., «Мир», 1964
• Оуэн Г. Теория игр. М. «Мир», М., 1971