Русская Википедия:Матричный метод
Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.
Пусть дана система линейных уравнений с <math>n</math> неизвестными (над произвольным полем):
<math> { \begin{cases} a_{11}x_1+ \ldots +a_{1n}x_n=b_1, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots, \\ a_{n1}x_1+ \ldots +a_{nn}x_n=b_n; \end{cases} } </math>
Тогда её можно переписать в матричной форме:
<math>AX = B</math>, где <math>A</math> — основная матрица системы, <math>B</math> и <math>X</math> — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:
<math> A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix},
B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix},
X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} </math>
Умножим это матричное уравнение слева на <math>A^{-1}</math> — матрицу, обратную к матрице <math>A</math>: <math>A^{-1}\left( AX \right) = A^{-1}B</math>
Так как <math>A^{-1}A = E</math>, получаем <math>X = A^{-1}B</math>. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:
- <math>\det A \ne 0</math>.
Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор <math>B = 0</math>, действительно обратное правило: система <math>AX = 0</math> имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если <math>\det A = 0</math>. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.
Пример решения неоднородной СЛАУ
<math> { \begin{cases} 3x+2y-z=4, \\ 2x-y+5z=23,\\ x+7y-z=5; \end{cases} } </math>
Сначала убедимся в том, что определитель матрицы из коэффициентов при неизвестных СЛАУ не равен нулю.
<math>\begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 5 \\ 1 & 7 & -1 \end{vmatrix}=3-14+10-1-105+4=-103;</math>
Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахождения обратной матрицы.
<math>A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix}-1 & 5\\ 7 & -1 \end{vmatrix}=-34;</math>
<math>A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}2 & 5\\ 1 & -1 \end{vmatrix}=7;</math>
<math>A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot \begin{vmatrix}2 & -1\\ 1 & 7 \end{vmatrix}=15;</math>
<math>A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot \begin{vmatrix}2 & -1\\ 7 & -1 \end{vmatrix}=-5;</math>
<math>A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot \begin{vmatrix}3 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-2;</math>
<math>A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot \begin{vmatrix}3 & 2\\ 1 & 7 \end{vmatrix}=-19;</math>
<math>A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot \begin{vmatrix}2 & -1\\ -1 & 5 \end{vmatrix}=9;</math>
<math>A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot \begin{vmatrix}3 & -1\\ 2 & 5 \end{vmatrix}=-17;</math>
<math>A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot \begin{vmatrix}3 & 2\\ 2 & -1 \end{vmatrix}=-7;</math>
Далее найдём присоединённую матрицу, транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.
<math>C^{*}=\begin{pmatrix}-34 & 7 & 15\\ -5 & -2 & -19\\ 9 & -17 & -7\end{pmatrix};</math>
<math>(C^{*})^{T}=\begin{pmatrix}-34 & -5 & 9\\ 7 & -2 & -17\\ 15 & -19 & -7\end{pmatrix};</math>
<math>A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot(C^{*})^{T}</math>
Подставляя переменные в формулу, получаем:
<math>A^{-1}=\frac{1}{-103}\cdot\begin{pmatrix}-34 & -5 & 9\\ 7 & -2 & -17\\ 15 & -19 & -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{34}{103} & \frac{5}{103} & -\frac{9}{103}\\ -\frac{7}{103} & \frac{2}{103} & \frac{17}{103}\\ -\frac{15}{103} & \frac{19}{103} & \frac{7}{103}\end{pmatrix};</math>
Осталось найти неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.
<math>X=A^{-1}\cdot B;</math>
<math>X=\begin{pmatrix}\frac{34}{103} & \frac{5}{103} & -\frac{9}{103}\\ -\frac{7}{103} & \frac{2}{103} & \frac{17}{103}\\ -\frac{15}{103} & \frac{19}{103} & \frac{7}{103}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4\\23\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}</math>
Итак, x = 2; y = 1; z = 4.
