Русская Википедия:Маятник Капицы
Ма́ятником Капицы называется система, состоящая из грузика, прикреплённого к лёгкой нерастяжимой спице, которая крепится к вибрирующему подвесу. Маятник носит имя академика и нобелевского лауреата П. Л. Капицы, построившего в 1951 году теорию для описания такой системы[1]. При неподвижной точке подвеса модель описывает обычный математический маятник, для которого имеются два положения равновесия: в нижней точке и в верхней точке. При этом равновесие математического маятника в верхней точке является неустойчивым, и любое сколь угодно малое возмущение приводит к потере равновесия.
Удивительной особенностью маятника Капицы является то, что, вопреки интуиции, перевёрнутое (вертикальное) положение маятника может быть устойчивым в случае быстрых вибраций подвеса. Хотя такое наблюдение было сделано еще в 1908 году А. Стефенсоном[2], в течение длительного времени не имелось математического объяснения причин такой устойчивости. П. Л. Капица экспериментально исследовал такой маятник, а также построил теорию динамической стабилизации, разделяя движение на «быстрые» и «медленные» переменные и введя эффективный потенциал. Работа П. Л. Капицы, опубликованная в 1951 году[1], открыла новое направление в физике — вибрационную механику. Метод П. Л. Капицы используется для описания колебательных процессов в атомной физике, физике плазмы, кибернетической физике. Эффективный потенциал, описывающий «медленную составляющую движения», описывается в томе «механика» курса теоретической физики Л. Д. Ландау[3].
Маятник Капицы интересен ещё и тем, что в такой простой системе можно наблюдать параметрические резонансы, когда нижнее положение равновесия не является больше устойчивым и амплитуда малых отклонений маятника нарастает со временем[4]. Также, при большой амплитуде вынуждающих колебаний в системе могут реализовываться хаотические режимы, когда в сечении Пуанкаре наблюдаются странные аттракторы.
Обозначения
Направим ось <math>y</math> вертикально вверх, а ось <math>x</math> горизонтально, так чтобы плоское движение маятника происходило в плоскости (<math>x</math> — <math>y</math>). Введём обозначения:
- <math>\nu</math> — частота вынуждающих вертикальных гармонических колебаний подвеса,
- <math>a</math> — амплитуда вынуждающих колебаний,
- <math>\omega_0 = \sqrt{g/l}</math> — собственная частота колебаний математического маятника,
- <math>g</math> — ускорение свободного падения,
- <math>l</math> — длина лёгкого стержня,
- <math>m</math> — масса грузика.
Если угол между стержнем и осью <math>y</math> обозначить как <math>\varphi</math>, то зависимость координат грузика от времени запишется следующими формулами:
- <math>\left\{\begin{aligned}
x &= l \sin \varphi, \\ y &= -l \cos \varphi - a \cos \nu t.
\end{aligned}\right.</math>
Энергия маятника
Потенциальная энергия маятника в поле тяжести задаётся положением грузика по вертикали как
- <math>E_\text{pot} = -mg(l \cos \varphi + a \cos \nu t).</math>
В кинетической энергии помимо обычного слагаемого <math>E_\text{kin} = m l^2 \dot \varphi^2 /2</math>, описывающего движение математического маятника, имеются дополнительные составляющие, вызванные вибрацией подвеса:
- <math>E_\text{kin} = \frac{m l^2 }{2} \dot \varphi^2 + m a l \nu ~\sin(\nu t) \sin(\varphi) \dot\varphi + \frac{m a^2 \nu^2}{2} \sin^2(\nu t).</math>
Полная энергия даётся суммой кинетической и потенциальной энергий <math>E = E_\text{kin} + E_\text{pot}</math>, а лагранжиан системы — их разностью <math>L = E_\text{kin} - E_\text{pot}</math>.
Для математического маятника полная энергия является сохраняющейся величиной, поэтому кинетическая энергия <math>E_\text{kin}</math> и потенциальная энергия <math>E_\text{pot}</math> на графике их зависимости от времени <math>t</math> симметричны относительно горизонтальной прямой. Из теоремы вириала следует, что средняя кинетическая и потенциальная энергии в гармоническом осцилляторе равны. Поэтому горизонтальная прямая, относительно которой имеется симметрия <math>E_\text{kin}</math> и <math>E_\text{pot}</math>, соответствует половине полной энергии.
Если подвес колеблется, то полная энергия больше не сохраняется. Кинетическая энергия является более чувствительной к вынуждающим колебаниям, чем потенциальная. Потенциальная энергия <math>E_\text{pot} = mgy</math> ограничена как сверху, так и снизу: <math>-mg(l + a) < E_\text{pot} < mg(l + a)</math>, в то время как кинетическая энергия ограничена только снизу: <math>E_\text{kin} \geqslant 0</math>. При больших значениях частоты <math>\nu</math> кинетическая энергия может быть много больше потенциальной.
Уравнение движения
Движение маятника удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа. Зависимость фазы маятника <math>\varphi</math> от времени определяет положение грузика[5]:
- <math>\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot \varphi} = \frac{\partial L}{\partial \varphi}.</math>
Дифференциальное уравнение
- <math>\ddot \varphi = -(a \nu^2 \cos \nu t + g) \frac{\sin \varphi}{l},
</math> описывающие эволюцию фазы маятника нелинейно из-за имеющегося в нём множителя <math>\sin\varphi</math>. Наличие нелинейного слагаемого может приводить к хаотическому поведению и появлению странных аттракторов.
Положения равновесия
Модель маятника Капицы является более общей, чем модель математического маятника. Последняя получается в предельном случае <math>a = 0</math>. Фазовый портрет математического маятника хорошо известен. На координатной плоскости это просто окружность <math>x^2+y^2 = l^2 = \mathrm{const}</math>. Если в начальный момент времени энергия маятника была больше, чем максимум потенциальной энергии <math>E > mgl</math>, то траектория будет замкнутой и циклической. Если же энергия маятника была меньше <math>E < mgl</math>, то он будет совершать периодические колебания около единственной устойчивой точки равновесия с наименьшим значением потенциальной энергии <math>x = 0,~y = -l</math>. В случае математического маятника полная энергии системы не меняется.
В случае <math>a \ne 0</math> система более не является замкнутой и её полная энергия может изменяться. Если при этом, частота вынуждающих колебаний <math>\nu</math> много больше частоты собственных колебаний <math>\omega_0</math>, то такой случай можно проанализировать математически. Оказывается[1], что если ввести эффективный потенциал, в котором движется маятник (медленно относительно частоты <math>\nu</math>), то этот потенциал может иметь два локальных минимума — один, как и раньше в нижней точке <math>(0,-l)</math>, а другой в верхней точке <math>(0,l)</math>. То есть точка <math>(0,l)</math> абсолютно неустойчивого равновесия для математического маятника, может оказаться точкой устойчивого равновесия для маятника Капицы.
Фазовый портрет
Интересные фазовые портреты могут быть получены для значений параметров, недоступных для аналитического рассмотрения, например в случае большой амплитуды колебания подвеса <math>a \approx l</math>[6][7]. Если увеличить амплитуду вынуждающих колебаний до половины длины маятника <math>a = l/2</math>, то получится картина аналогичная той, которая изображена на рисунке.
При дальнейшем увеличении амплитуды <math>a</math> (начиная от значения <math>a = l</math>), всё внутреннее пространство начинает «замазываться» полностью, то есть, если ранее не все внутренние точки координатного пространства были доступны, то теперь система может побывать в любой точке. Очевидно, что дальнейшее увеличение длины <math>a</math> принципиально более не изменит картину.
Интересные факты
- Как отмечал П. Л. Капица, маятниковые часы на вибрирующем основании всегда спешат.
- В коридоре института физических проблем стояла работающая модель маятника Капицы, и любой желающий мог воочию убедиться, как при её включении маятник поднимался и оставался в вертикальном положении.
- Метод эффективного потенциала был разработан П. Л. Капицей во время работы над высокочастотным генератором «ниготроном», названным так по месту исследования у себя на даче на Николиной Горе. Для того чтобы не было проблем с «секретностью» при публикации метода, П. Л. Капица придумывает простую физическую модель, к которой был бы применим этот метод. Таким образом, появляются статьи[1] про маятник с вибрирующим подвесом.
- П. Л. Капица предлагал решить задачу в изменённом варианте поступающим к нему в аспирантуру. Требовалось отыскать условие устойчивости акробата на доске, положенной на цилиндр, лежащий на боку. Ожидаемый ответ был, что если акробат начинал быстро переступать ногами, то его положение становилось устойчивым.
- При ходьбе устойчивость тела увеличивается в несколько раз по сравнению с устойчивостью при стоянии. Этот биомеханический феномен до настоящего времени не изучен. Существует гипотеза, которая объясняет устойчивость тела при ходьбе колебательными движениями центра голеностопного сустава. Тело человека представляется с позиции перевёрнутого маятника с центром в области голеностопных суставов, который приобретает устойчивость в вертикальном положении, если его центр совершает колебание вверх-вниз с достаточно высокой частотой (маятник Капицы).
Литература
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Капица П. Л. «Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса» ЖЭТФ, т. 21, вып. 5. с. 588—597 (1951); Капица П. Л. «Маятник с вибрирующим подвесом», УФН, т. 44. Вып. 1. С. 7—20 (1951).
- ↑ A. Stephenson «On an induced stability» Phil. Mag. 15, 233 (1908).
- ↑ Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Механика
- ↑ Бутиков Е. И. «Маятник с осциллирующим подвесом (к 60-летию маятника Капицы)», учебное пособие Шаблон:Wayback.
- ↑ Крайнов В. П. Избранные математические методы в теоретической физике. Издательство МФТИ (1996).
- ↑ Астрахарчик Г.Е и Астрахарчик Н. А. «Исследование маятника Капицы» (G.E. Astrakharchik, N.A. Astrakharchik «Numerical study of Kapitza pendulum») arXiv:1103.5981 (2011)
- ↑ Визуализация в реальном времени движений маятника Капицы доступна в интернете на сайтах Шаблон:Cite web и http://faculty.ifmo.ru/butikov/Nonlinear/index.html Шаблон:Wayback Параметры маятника могут быть выбраны произвольно и вводятся вручную.
