Русская Википедия:Медиана треугольника
Медиа́на треуго́льника (Шаблон:Lang-la — средняя) ― отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, противоположной этой вершине. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок, а иногда длину этого отрезка. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.
Если <math>ABC</math> ― треугольник, и <math>a = BC</math>, <math>b = AC</math>, <math>c = AB</math> ― длины сторон (или просто стороны), то медианы, проведённые соответственно из вершин <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> к сторонам <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, обычно обозначаются <math>m_a</math>, <math>m_b</math> и <math>m_c</math>.
Связанные определения
Точка пересечения медиан делит каждую медиану на два отрезка. Отрезок от вершины до точки пересечения называется предмедианой, а отрезок от точки пересечения до противоположной стороны постмедианой[1]. В частности можно сказать, что в любом треугольнике отношение предмедианы к постмедиане равно двум.
Свойства
Основное свойство
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Свойства медиан равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой. Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.
У равностороннего треугольника все три медианы равны.
Если медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, пересекаются под прямым углом, то косинусы углов при основании этого треугольника равны <math>\dfrac{1}{\sqrt{10}}</math>, а косинус противоположного основанию угла равен <math>\dfrac{4}{5}</math>.
Свойства оснований медиан
- Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
- Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
- Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.
- Теркем доказал теорему Теркема[2]. Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (то есть 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).
Другие свойства
- Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
- Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
- Медиана делит пополам любой отрезок, параллельный стороне, к которой проведена эта медиана.
- Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. Центры описанных окружностей этих шести треугольников лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.
- Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
- В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
- Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
- Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
- Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.
- Трилинейная поляра центроида (точки пересечения трех медиан) — бесконечно удаленная прямая (см. рис.).
Основные соотношения
Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):
- <math>m_a = \dfrac{1}{2}\sqrt {2 b^2 + 2 c^2 - a^2}, </math>
- <math>m_b = \dfrac{1}{2}\sqrt{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}, </math>
- <math>m_c = \dfrac{1}{2}\sqrt{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}, </math>
- где <math>m_a,\ m_b,\ m_c</math> — медианы к сторонам треугольника <math>a,\ b,\ c</math> соответственно.
В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:
- <math>m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac34 (a^2 + b^2 + c^2)</math>.
Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:
- <math>a = \frac{2}{3} \sqrt{-m_a^2 + 2m_b^2 + 2m_c^2} = \sqrt{2(b^2+c^2)-4m_a^2} = \sqrt{\frac{b^2}{2} - c^2 + 2m_b^2} = \sqrt{\frac{c^2}{2} - b^2 + 2m_c^2},</math>
- <math>b = \frac{2}{3} \sqrt{-m_b^2 + 2m_a^2 + 2m_c^2} = \sqrt{2(a^2+c^2)-4m_b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} - c^2 + 2m_a^2} = \sqrt{\frac{c^2}{2} - a^2 + 2m_c^2},</math>
- <math>c = \frac{2}{3} \sqrt{-m_c^2 + 2m_b^2 + 2m_a^2} = \sqrt{2(b^2+a^2)-4m_c^2} = \sqrt{\frac{b^2}{2} - a^2 + 2m_b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} - b^2 + 2m_a^2},</math>
- где <math>m_a, m_b, m_c</math> — медианы к соответствующим сторонам треугольника, <math>a, b, c</math> — стороны треугольника.
Площадь <math>S</math> любого треугольника, выраженная через длины его медиан:
- <math>S = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)},</math>
- где <math>\sigma = (m_a + m_b + m_c)/2</math> — полусумма длин медиан.
Вариации и обобщение
- Чевиана — отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
См. также
Примечания
Литература
- Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника, 1902 год.
- ↑ Стариков В. Н. 10-е исследование по геометрии (§ До- (пред-)- и пост-чевианы)// Научный рецензируемый электронный журнал МГАУ «Наука и образование». 2020. № 1. 7 с.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/ 1604
- ↑ Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Шаблон:Wayback. — Одесса, 1902. — С. 16.
