Русская Википедия:Мера Малера
Мера Малера <math>M(p)</math> для многочлена <math>p(z) </math> с комплексными коэффициентами определяется как
- <math>M(p) = |a|\prod_{|\alpha_i| \ge 1} |\alpha_i| = |a| \prod_{i=1}^n \max\{1,|\alpha_i|\},</math>
где <math>p(z) </math> разлагается в поле комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math> на множители
- <math>p(z) = a(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\cdots(z-\alpha_n).</math>
Меру Малера можно рассматривать как вид функции высоты. Используя формулу Йенсена, можно показать, что эта мера эквивалентна среднему геометрическому чисел <math>|p(z)| </math> для <math>z</math> на единичной окружности (т.е. <math>|z| = 1</math>):
- <math>M(p) = {\color{Green}\exp}\left( \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} {\color{Green}\ln}(|p(e^{i\theta})|)\, d\theta \right).</math>
В более широком смысле мера Малера для алгебраического числа <math>\alpha</math> определяется как мера Малера минимального многочлена от <math>\alpha</math> над <math>\mathbb{Q}</math>. В частности, если <math>\alpha</math> является числом Пизо или числом Салема, то мера Малера равна просто <math>\alpha</math>.
Мера Малера названа в честь математика Шаблон:Нп5.
Свойства
- Мера Малера является мультипликативной: <math>\forall p, q, \,\, M(p \cdot q) = M(p) \cdot M(q),</math> где <math>\forall</math> — квантор всеобщности.
- <math>M(p) = \lim_{\tau \rightarrow 0} \|p\|_{\tau}</math>, где среднее степенное <math>\|p\|_\tau =\left( \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |p(e^{i\theta})|^\tau \, d\theta \right)^{1/\tau}</math> является нормой <math>L_\tau</math> для многочлена <math>p</math> [1].
- (Шаблон:Нп5) Если <math>p</math> является неприводимым нормированным (старший коэффициент — 1) целочисленным многочленом с <math>M(p) = 1</math>, то либо <math>p(z) = z</math>, либо <math>p</math> является круговым многочленом.
- (Шаблон:Нп5) Если существует константа <math>\mu>1</math>, такая, что если <math>p</math> является неприводимым целочисленным многочленом, то либо <math>M(p)=1</math>, либо <math>M(p)>\mu</math>.
- Мера Малера нормированного целого многочлена является числом Перрона.
Мера Малера от нескольких переменных
Мера Малера <math>M(p)</math> для многочлена с несколькими переменными <math>p(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]</math> определяется аналогичной формулойШаблон:Sfn.
- <math>M(p) = \exp\left( \frac{1}{(2\pi)^n} \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} \cdots \int_0^{2\pi} \log \Bigl( \bigl |p(e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}, \ldots, e^{i\theta_n}) \bigr| \Bigr) \, d\theta_1\, d\theta_2\cdots d\theta_n \right).</math>
Эта мера сохраняет все три свойства меры Малера для многочлена от одной переменной.
Было показано, что в некоторых случаях мера Малера от нескольких переменных связана со специальными значениями дзета-функций и <math>L</math>-функций. Например, в 1981 Смит доказал формулыШаблон:Sfn
- <math> m(1+x+y)=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}L(\chi_{-3},2),</math>
где <math>L(\chi_{-3},s)</math> является L-функцией Дирихле, и
- <math> m(1+x+y+z)=\frac{7}{2\pi^2}\zeta(3)</math> ,
где <math>\zeta</math> является дзета-функцией Римана. Здесь <math> m(P)=\log{M(P)}</math> называется логарифмической мерой Малера.
Теорема Лоутона
По определению мера Малера рассматривается как интеграл многочлена по тору (см. Шаблон:Нп5). Если <math>p</math> обращается в ноль на торе <math>(S^1)^n</math>, то сходимость интеграла, определяющего <math>M(p)</math>, не очевидна, но известно, что <math>M(p)</math> сходится и равно пределу меры Малера от одной переменнойШаблон:Sfn, что было высказано в виде гипотезы Шаблон:Нп5Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
Пусть <math>\mathbb{Z}</math> обозначает целые числа, определим <math>\mathbb{Z}^N_+=\{r=(r_1,\dots,r_N)\in\mathbb{Z}^N:r_j\ge0\ \text{for}\ 1\le j\le N\}</math>. Если <math>Q(z_1,\dots,z_N)</math> является многочленом от <math>N</math> переменных и <math>r=(r_1,\dots,r_N)\in\mathbb{Z}^N_+</math>, то пусть многочлен <math>Q_r(z)</math> от одной переменной определяется как
- <math>Q_r(z):=Q(z^{r_1},\dots,z^{r_N}),</math>
а <math>q(r)</math> — как
- <math>q(r):=\text{min}\{H(s):s=(s_1,\dots,s_N)\in\mathbb{Z}^N,s\ne(0,\dots,0)\ \text{and}\ \sum^N_{j=1}s_jr_j=0\}</math>,
где <math>H(s)=\text{max}\{|s_j|:1\le j\le N\}</math>.
Теорема (Лоутона): пусть <math>Q(z_1,\dots,z_N)</math> является многочленом от N переменных с комплексными коэффициентами — тогда верен следующий предел (даже если нарушить условие <math>r_i\ge0</math>):
- <math> \lim_{q(r)\rightarrow\infty}M(Q_r)=M(Q)</math>
Предложение Бойда
Бойд предложил утверждение, более общее, чем вышеприведённая теорема. Он указал на то, что классическая теорема Кронекера, которая характеризует нормированные многочлены с целыми коэффициентами, корни которых лежат внутри единичного круга, может рассматриваться как описание многочленов одной переменной, мера Малера для которых в точности равна 1, и на то, что этот результат можно распространить на многочлены нескольких переменныхШаблон:Sfn.
Пусть расширенный круговой многочлен будет определяться как многочлен вида
- <math>\Psi(z)=z_1^{b_1} \dots z_n^{b_n}\Phi_m(z_1^{v_1}\dots z_n^{v_n}),</math>
где <math>\Phi_m(z)</math> — круговой многочлен степени m, <math>v_i</math> — целые числа, а <math>b_i=\max(0,-v_i\deg\Phi_m)</math> выбран минимальным, так что <math>\Psi(z)</math> является многочленом от <math>z_i</math>. Пусть <math>K_n</math> — множество многочленов, являющихся произведением одночленов <math>\pm z_1^{c_1}\dots z_n^{c_n}</math> и расширенного кругового многочлена. Тогда получается следующая теорема.
Теорема (Бойда): пусть <math> F(z_1,\dots,z_n)\in\mathbb{Z}[z_1,\ldots,z_n]</math> является многочленом с целыми коэффициентами — тогда <math>M(F)=1,</math> только когда <math>F</math> является элементом <math>K_n</math>.
Это натолкнуло Бойда на мысль рассматреть следующие множества:
- <math>L_n:=\bigl\{m(P(z_1,\dots,z_n)):P\in\mathbb{Z}[z_1,\dots,z_n]\bigr\},</math>
и объединение <math>{L}_\infty=\bigcup^\infty_{n=1}L_n</math>. Он выдвинул более «продвинутую» гипотезуШаблон:Sfn, что множество <math>{L}_\infty</math> является замкнутым подмножеством <math>\mathbb R</math>. Из верности этой гипотезы немедленно следует верность гипотезы Лемера, хотя и без явной нижней границы. Поскольку из результата СмитаШаблон:Прояснить вытекает, что <math>L_1\subsetneqq L_2</math>, Бойд позже высказал гипотезу, что
- <math>L_1\subsetneqq L_2\subsetneqq L_3\subsetneqq\ \cdots\,.</math>
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:SpringerEOM.
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
Ссылки
- ↑ Хотя это не является истинной нормой для значений <math>\tau < 1</math>.
