Русская Википедия:Метод Адамса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ме́тод А́дамса — конечноразностный многошаговый метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В отличие от метода Рунге-Кутты использует для вычисления очередного значения искомого решения не одно, а несколько значений, которые уже вычислены в предыдущих точках.

Назван по имени предложившего его в 1855 году английского астронома Джона К. Адамса.

Определение

Пусть дана система дифференциальных уравнений первого порядка

<math >y' =f(x, y), y(x_0) = y_0</math>,

для которой надо найти решение на сетке с постоянным шагом <math>x_n-x_0=nh </math>. Расчётные формулы метода Адамса для решения этой системы имеют вид:

a) экстраполяционные — метод Адамса-Башфорта

<math>y_{n+1}= y_n + h\sum^{k}_{\lambda=0} {u_{-\lambda}f(x_{n-\lambda},y_{n-\lambda})}</math>,

б) интерполяционные или неявные — метод Адамса-Мультона

<math>y_{n+1}= y_n + h\sum^{k-1}_{\lambda=-1} {v_{-\lambda}f(x_{n-\lambda},y_{n-\lambda})}</math>,

где <math>u_{-\lambda}, v_{-\lambda} </math> — некоторые вычисляемые постоянные.

При одном и том же <math>k </math> формула б) точнее, но требует решения нелинейной системы уравнений для нахождения значения <math>y_{n+1} </math>. На практике находят приближение из а), а затем приводят одно или несколько уточнений по формуле

<math>y^{(i+1)}_{n+1}= y_n + h\sum^{k-1}_{\lambda=0} {v_{-\lambda}f(x_{n-\lambda},y_{n-\lambda})} + hv_1f(x_{n+1},y^{(i)}_{n+1})</math>.

Свойства

Методы Адамса <math>k</math>-го порядка требуют предварительного вычисления решения в <math>k</math> начальных точках. Для вычисления начальных значений обычно используют одношаговые методы, например, 4-стадийный метод Рунге — Кутты 4-го порядка точности.

Локальная погрешность методов Адамса <math> k</math>-го порядка — <math> O(h^k)</math>. Структура погрешности метода Адамса такова, что погрешность остаётся ограниченной или растёт очень медленно в случае асимптотически устойчивых решений уравнения. Это позволяет использовать этот метод для отыскания устойчивых периодических решений, в частности, для расчёта движения небесных тел.

Методы Адамса — Мультона

Неявные методы Адамса — Мультона

<math> y_n = y_{n-1} + h f(t_n,y_n) </math>, (неявный метод Эйлера)

<math> \begin{align}

y_{n+1} &= y_n + \frac{1}{2} h \left( f(t_{n+1},y_{n+1}) + f(t_n,y_n) \right) , \\ y_{n+2} &= y_{n+1} + h \left( \frac{5}{12} f(t_{n+2},y_{n+2}) + \frac{2}{3} f(t_{n+1},y_{n+1}) - \frac{1}{12} f(t_n,y_n) \right) , \\ y_{n+3} &= y_{n+2} + h \left( \frac{3}{8} f(t_{n+3},y_{n+3}) + \frac{19}{24} f(t_{n+2},y_{n+2}) - \frac{5}{24} f(t_{n+1},y_{n+1}) + \frac{1}{24} f(t_n,y_n) \right) , \\ y_{n+4} &= y_{n+3} + h \left( \frac{251}{720} f(t_{n+4},y_{n+4}) + \frac{646}{720} f(t_{n+3},y_{n+3}) - \frac{264}{720} f(t_{n+2},y_{n+2}) + \frac{106}{720} f(t_{n+1},y_{n+1}) - \frac{19}{720} f(t_n,y_n) \right) . \end{align} </math>

Библиография

• Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, т. 2, М., 1959.
• Бахвалов Н. С., Численные методы, 2 изд. М. 1975.