Русская Википедия:Метод Гаусса — Жордана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Дзт Метод Гаусса — Жордана (метод полного исключения неизвестных) — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана.

Алгоритм

1. Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.
2. Если самое верхнее число в этом столбце ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
3. Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.
4. Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.
5. Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
6. После повторения этой процедуры <math>n - 1</math> раз получают верхнюю треугольную матрицу
7. Вычитают из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
8. Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

Расширенный алгоритм для нахождения обратной матрицы

Пусть дано:

<math>A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \quad a_{11} \ne 0 \quad I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}</math>

Прямой ход (алгоритм образования нулей под главной диагональю)

• Разделим первую строку матрицы А на <math>a_{11}</math> получим: <math>a_{1j}^1 = \frac{a_{1j} }{a_{11} }</math>, j — столбец матрицы А.
• Повторяем действия для матрицы I, по формуле: <math>b_{1s}^1 = \frac{b_{1s} }{a_{11} }</math>, s — столбец матрицы I

Получим:

<math>A=\begin{pmatrix} 1 & a_{12}^1 & \cdots & a_{1n}^1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \qquad I=\begin{pmatrix} b_{11}^1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}</math>

• Будем образовывать 0 в первом столбце : <math>a_{2j}^1=a_{2j}-a_{1j}^1 a_{21} \ , \dots , \ a_{nj}^1=a_{nj}-a_{1j}^1 a_{n1}</math>
• Повторяем действия для матрицы І, по формулам : <math>b_{2s}^1=b_{2s}-b_{1s}^1 a_{21} \ , \dots , \ b_{ns}^1=b_{ns}-b_{1s}^1 a_{n1}</math>

Получим:

<math>A=\begin{pmatrix} 1 & a_{12}^1 & \cdots & a_{1n}^1 \\ 0 & a_{22}^1 & \cdots & a_{2n}^1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n2}^1 & \cdots & a_{nn}^1 \end{pmatrix} \qquad I=\begin{pmatrix} b_{11}^1 & 0 & \cdots & 0 \\ b_{21}^1 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}^1 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}</math>

• продолжаем выполнять аналогичные операции, используя формулы : <math>a_{ij}^k=\frac{a_{ij}^k}{a_{ii} } \qquad a_{ij}^k=a_{ij}^{k-1}-a_{kj}^k a_{ik}^{k-1}</math>

при условии, что <math>k = 1 \rightarrow n,i = k + 1 \rightarrow n,j = 1 \rightarrow n</math>

• Повторяем действия для матрицы І, по формулам : <math>b_{ik}^k=\frac{b_{ik}^k}{a_{ii} } \qquad b_{is}^k=b_{is}^{k-1}-b_{ks}^k a_{ik}^{k-1}</math>

при условии, что <math>k=1 \to n,\; i=k+1 \to n,\; s=1 \to n</math>

Получим :

<math>A=\begin{pmatrix} 1 & a_{12}^1 & \cdots & a_{1n}^1 \\ 0 & 1 & \cdots & a_{2n}^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \qquad I=\begin{pmatrix} b_{11}^1 & 0 & \cdots & 0 \\ b_{21}^2 & b_{22}^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}^n & b_{n2}^n & \cdots & b_{nn}^n \end{pmatrix}</math>

Обратный ход (алгоритм образования нулей над главной диагональю)

Используем формулу: <math>a_{ij}^{k-1}=a_{ij}^{k-1}-a_{ij}^k a_{ik}^i</math>, при условии, что <math>k=n \to 1,\; i=1 \to k-1,\; j=1 \to n</math>

Повторяем действия для матрицы І, по формуле : <math>b_{is}^{k-1}=b_{is}^{k-1}-b_{is}^k a_{ik}^i</math>, при условии, что <math>k=n \to 1,\; i=1 \to k-1,\; s=1 \to n</math>

Окончательно получаем :

<math>A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \qquad I=A^{-1}</math>

Пример

Для решения следующей системы уравнений:

<math>\left\{\begin{array}{ccccccl}

a &+& b &+& c &=& 0\\ 4a &+& 2b &+& c &=& 1\\ 9a &+& 3b &+& c &=& 3 \end{array}\right. </math>

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

<math>

 \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 1 \!& \vline &\! 0 \\
   4 & 2 & 1 \!& \vline &\! 1 \\
   9 & 3 & 1 \!& \vline &\! 3
 \end{pmatrix}

</math>

Проведём следующие действия:

• К строке 2 добавим: −4 × Строку 1.
• К строке 3 добавим: −9 × Строку 1.

Получим:

<math>

 \begin{pmatrix}
   1 &\  1 &\  1 \!& \vline &\! 0 \\
   0 & -2 & -3 \!& \vline &\! 1 \\
   0 & -6 & -8 \!& \vline &\! 3
 \end{pmatrix}

</math>

• К строке 3 добавим: −3 × Строку 2.
• Строку 2 делим на −2

<math>

 \begin{pmatrix}
   1 &  1 &  1 \!& \vline &\!\ 0 \\
   0 & 1 & {3 \over 2} \!& \vline &\! -{1 \over 2} \\
   0 & 0 & 1 \!& \vline &\!\ 0
 \end{pmatrix}

</math>

• К строке 1 добавим: −1 × Строку 3.
• К строке 2 добавим: −3/2 × Строку 3.

<math>

 \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 0 \!& \vline &\!\ 0 \\
   0 & 1 & 0 \!& \vline &\! -{1 \over 2} \\
   0 & 0 & 1 \!& \vline &\!\ 0
 \end{pmatrix}

</math>

• К строке 1 добавим: −1 × Строку 2.

<math>

 \begin{pmatrix}
   1 & 0 & 0 \!& \vline &\!\ {1 \over 2} \\
   0 & 1 & 0 \!& \vline &\! -{1 \over 2} \\
   0 & 0 & 1 \!& \vline &\!\ 0
 \end{pmatrix}

</math>

В правом столбце получаем решение:

<math>a = \frac{1}{2} \; ; \ b = -\frac{1}{2} \; ; \ c = 0</math> .

Реализация алгоритма на языке программирования C#

namespace Gauss_Jordan_Method
{
    class Maths
    {
        /// <summary>
        /// Метод Гаусса-Жордана (Обратная матрица)
        /// </summary>
        /// <param name="Matrix">Начальная матрица</param>
        /// <returns></returns>
        public static double[,] GaussJordan(double[,] Matrix)
        {
            int n = Matrix.GetLength(0); //Размерность начальной матрицы

            double[,] xirtaM = new double[n, n]; //Единичная матрица (искомая обратная матрица)
            for (int i = 0; i < n; i++)
                xirtaM[i, i] = 1;

            double[,] Matrix_Big = new double[n, 2*n]; //Общая матрица, получаемая скреплением Начальной матрицы и единичной
            for (int i = 0; i < n; i++)
                for (int j = 0; j < n; j++)
                {
                    Matrix_Big[i, j] = Matrix[i, j];
                    Matrix_Big[i, j + n] = xirtaM[i, j];
                }

            //Прямой ход (Зануление нижнего левого угла)
            for (int k = 0; k < n; k++) //k-номер строки
            {
                for (int i = 0; i < 2*n; i++) //i-номер столбца
                    Matrix_Big[k, i] = Matrix_Big[k, i] / Matrix[k, k]; //Деление k-строки на первый член !=0 для преобразования его в единицу
                for (int i = k + 1; i < n; i++) //i-номер следующей строки после k
                {
                    double K = Matrix_Big[i, k] / Matrix_Big[k, k]; //Коэффициент
                    for (int j = 0; j < 2*n; j++) //j-номер столбца следующей строки после k
                        Matrix_Big[i, j] = Matrix_Big[i, j] - Matrix_Big[k, j] * K; //Зануление элементов матрицы ниже первого члена, преобразованного в единицу
                }
                for (int i = 0; i < n; i++) //Обновление, внесение изменений в начальную матрицу
                    for (int j = 0; j < n; j++)
                        Matrix[i, j] = Matrix_Big[i, j];
            }

            //Обратный ход (Зануление верхнего правого угла)
            for (int k = n - 1; k > -1; k--) //k-номер строки
            {
                for (int i = 2*n - 1; i > -1; i--) //i-номер столбца
                    Matrix_Big[k, i] = Matrix_Big[k, i] / Matrix[k, k];
                for (int i = k - 1; i > -1; i--) //i-номер следующей строки после k
                {
                    double K = Matrix_Big[i, k] / Matrix_Big[k, k];
                    for (int j = 2*n - 1; j > -1; j--) //j-номер столбца следующей строки после k
                        Matrix_Big[i, j] = Matrix_Big[i, j] - Matrix_Big[k, j] * K;
                }
            }

            //Отделяем от общей матрицы
            for (int i = 0; i < n; i++)
                for (int j = 0; j < n; j++)
                    xirtaM[i, j] = Matrix_Big[i, j + n];

            return xirtaM;        
        }
    }
}

Литература

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation

Ссылки

• Algorithm for Gauss-Jordan elimination in PythonШаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite web