Русская Википедия:Метод Самокиша

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Метод Самокиша (формула Стенжера) — метод численного интегрирования интегралов с особенностями.

Рассмотрим определённый интеграл с особенностями на концах промежутка <math>[-1, 1]</math>

Пусть требуется вычислить <math>I=\int\limits_{-1}^1 f(x)\,dx</math> — оба конца особые. Метод заключается в отбрасывании концов на бесконечность, заменой переменных:

<math>x = \operatorname{th}\left(\frac{t}{2}\right)=\frac{e^{\frac{t}{2}}-e^{-\frac{t}{2}}}{e^{\frac{t}{2}}+e^{-\frac{t}{2}}}=\frac{e^t-1}{e^t+1}</math>
<math>dx=\frac{1}{2}\frac{1}{\operatorname{ch}^2\left(\frac{t}{2}\right)}dt=\frac{2e^t}{(e^t+1)^2}dt</math>, тогда интеграл принимает следующий вид:
<math>I=\int\limits_{-1}^1 f(x)\,dx=2\int\limits_{-\infty}^{\infty}f\left(\frac{e^t-1}{e^t+1}\right)\frac{e^t}{(e^t+1)^2}\,dt=2h\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}f\left(\frac{e^{nh}-1}{e^{nh}+1}\right)\frac{e^{nh}}{(e^{nh}+1)^2}</math>

Интеграл берется по формуле трапеций. Пусть <math>q = e^h</math>,где <math>h = \frac{b-a}{m}</math>, m — количество промежутков деления, тогда :

<math>I=\int\limits_{-1}^1 f(x)\,dx = 2h\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}f\left(\frac{q^{n}-1}{q^{n}+1}\right)\frac{q^{n}}{(q^{n}+1)^2}</math>

Суммирование заканчивается, когда остаток ряда меньше заданного <math>\varepsilon</math>, которое по Самокишу равно <math>e^{\pi q}</math>.

Библиография

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Метод_Самокиша&oldid=10372964