Русская Википедия:Метод Феррари
Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.
Описание метода
Пусть уравнение <math>4</math>-й степени имеет вид Шаблон:Формула Если <math>y_1</math> — произвольный корень кубического уравнения Шаблон:Формула (резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений
- <math>x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}y_1-c\right)x+\frac{y^2_1}{4}-d},</math>
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.
Представим уравнение четвёртой степени в виде:
- <math> A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E = 0, </math>
Его решение может быть найдено из следующих выражений:
- <math> \alpha = - {3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A}, </math>
- <math> \beta = {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A}, </math>
- <math> \gamma = -{3 B^4 \over 256 A^4} + {B^2 C \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A}, </math>
- если <math>\beta=0</math>, тогда, решив <math>u^4+\alpha u^2 + \gamma = 0</math> и, сделав подстановку <math>x=u-{B\over 4A}</math>, найдём корни:
- <math>x=-{B\over 4A}\pm_s\sqrt{-\alpha\pm_t\sqrt{\alpha^2-4\gamma}\over 2},\qquad\beta=0</math>.
- если <math>\beta=0</math>, тогда, решив <math>u^4+\alpha u^2 + \gamma = 0</math> и, сделав подстановку <math>x=u-{B\over 4A}</math>, найдём корни:
- <math> P = - {\alpha^2 \over 12} - \gamma, </math>
- <math> Q = - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8}, </math>
- <math> R = -{Q\over 2} \pm \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}}</math>, (любой знак квадратного корня подойдёт)
- <math> U = \sqrt[3]{R}</math>, (три комплексных корня, один из которых подойдёт)
- <math> y = - {5 \over 6} \alpha +U + \begin{cases}U=0 &\to -\sqrt[3]{Q}\\U\ne 0 &\to {-P\over 3U}\end{cases}, </math>
- <math>W=\sqrt{ \alpha + 2 y}</math>
- <math> x = - {B \over 4 A} + { \pm_s W \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2 y \pm_s {2\beta\over W} \right) }\over 2 }.</math>
- Здесь <math>\pm_s</math> и <math>\pm_t</math> — два независимых параметра, каждый из которых равен либо <math>+</math>, либо <math>-</math>. Количество возможных пар их значений равно четырём, и каждая пара производит один из четырёх корней изначального уравнения четвёртой степени. В случае, если какой-то из корней является кратным, количество дающих его пар значений <math>\pm_s</math> и <math>\pm_t</math> равно степени его кратности. В зависимости от выбора <math>U</math> (при взятии кубического корня возникает неоднозначность) корни будут соответствовать парам в разном порядке.
Вывод
Пусть имеется уравнение канонического вида:
- <math>\ x^4+ax^2+bx+c =0 </math>
Обозначим корни уравнения как <math>x_1, x_2, x_3, x_4 </math>. Для корней уравнения в канонической форме будет выполняться соотношение
- <math>\ x_1+ x_2+ x_3+ x_4=0:</math>
Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это
- <math>\ x_3=-W+iV</math>
- <math>\ x_4=-W-iV</math>
Причём <math>W</math>, <math>V</math> — действительные числа. Тогда два других корня можно записать как
- <math>\ x_1=W+iK</math>
- <math>\ x_2=W-iK </math>
Здесь <math>K</math> может быть либо действительным, либо чисто мнимым числом. Выразим a через корни уравнения
- <math>\ a= x_1x_2+ x_1x_3+ x_1x_4+ x_2x_3+ x_2x_4+ x_3x_4= x_1x_2+(x_1+ x_2)(x_3+x_4)+ x_3x_4=</math>
- <math>\ =(W^2+K^2)+ (W^2+V^2)-4W^2= V^2+K^2-2W^2</math>
Выразим К через остальные коэффициенты:
- <math>\ K^2=a+2W^2- V^2</math>
- <math>\ c= x_1x_2x_3x_4 =W^4+( V^2+K^2)W^2+K^2V^2= W^4+2W^4+aV^2+2W^2V^2- V^4+aW^2</math>
или
- <math>\ V^4-(a+ 2W^2) V^2 +c-3W^4 - aW^2=0</math>
Итого
- <math>\ V^2=1/2(( a+ 2W^2)\pm \sqrt{a^2-4c+ 8aW^2+16W^4})</math>
- <math>\ b= x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4+ x_1x_3x_4+ x_2x_3x_4 =(W^2+K^2)\cdot(-2W)+ (W^2+V^2)\cdot(2W)=2W(V^2-K^2)=</math>
- <math>\ =2W(2V^2- a-2W^2 )=2W\cdot\sqrt{a^2-4c+ 8aW^2+16W^4}</math>
Или <math>\ b^2=4W^2\cdot( a^2-4c+ 8aW^2+16 W^4)</math>
Отсюда <math>\ 64 W^6 +32aW^4+4(a^2-4c) W^2-b^2=0</math>
Заменяя <math>\ y=W^2</math>, получаем резольвенту, решив которую, находим W
История
С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».
См. также
Ссылки
