Русская Википедия:Метод галеры
Метод галеры (метод зачёркивания) — способ деления, который был самым используемым в Европе примерно до 1600-х годов, и продолжал быть популярным до конца XVIII века[4]. Метод возник на основе китайского и индийского методов. Метод упоминается у Аль-Хорезми в работах 825 года[4], у Луки Пачоли в 1492 году[3].
В отличие от предшествующих методов, в этом методе цифры не стирались, а зачёркивались[4]. Он похож на современный метод деления столбиком, однако в методе галеры вычитание частичных произведений проходило слева направо, а не справа налево, как в современных методах.
Своё название метод получил за схожесть записываемых при вычислении строк с силуэтом одноименного судна[4][3]. При этом косые чёрточки, которые использовались для зачёркивания цифр, напоминали вёсла. Иногда для получения сходства рисунок надо повернуть на 90°[5].
Аналогичный способ применялся также для извлечения корнейШаблон:Переход.
История
Арифметические действия с ростом разрядности чисел становятся весьма трудоемкими и чувствительными к механическим ошибкам, а деление — наиболее сложное из них. «Трудное дело — деление» (Шаблон:Lang-it), гласило древнее итальянское выражение[6]Шаблон:Rp.
Хотя в Европе деление считалось сложной операцией вплоть до XV века, в Китае и в Индии деление не считалось чем-то особенно сложным[4][7]. Метод деления упоминается в «Математике в девяти книгах» (II век н. э.) и подробно описан в Шаблон:Iw Сунь Цзы (III—V век)[4]. Многие индийские труды по математике не описывают метода деления, предполагая его известным. Например, о методе деления не пишет Ариабхата (499 год), хотя, несомненно, метод деления был известен его читателям, так как Ариабхата описывает метод извлечения корней, который требует деления. В индийской математике метод деления, аналогичный китайскому, впервые упомянут у Шаблон:Iw (около 800 года). Детальное описание метода даёт Шаблон:Iw в X веке[7].
Индийский метод выполнялся на песке или мелом на доске. В китайском методе использовались палочки в качестве цифр. В обоих случаях цифры легко было стирать. В этих методах делитель записывался под делимым. Как и в современном методе деления столбиком, из делимого вычитались частичные произведения (то есть произведения делителя на каждую цифру ответа, сдвинутые на соответствующее число разрядов). Однако, в отличие от современного метода, старое делимое стиралось, а разность записывалась на его место, при этом само частичное произведение не записывалось, и даже не вычислялось, а вычитание происходило поразрядно слева направо. После этого делитель смещался на один разряд вправо (эту операцию в средневековой Европе называли по-латыни anterioratio)[7][4]. В китайском (а возможно, и в индийском методе) частное записывалось над делителем[4].
Этот метод стал известен арабам, начиная с трудов Аль-Хорезми (825 года)[7][4]. Оттуда этот метод попал в Европу[7]. В Европе деление выполнялось чернилами на бумаге, из-за этого метод деления претерпел естественную модификацию в связи с тем, что цифры не стирались, а зачёркивались[3][7][4]. При вычитании из делителя частичных произведений результат записывался сверху. Стало непрактично записывать частное над делимым, его стали писать справа[4]. Эта модификация стала называться методом галеры (galea, batello)[7], у англичан этот метод назывался также методом зачёркивания[5] (Шаблон:Lang-en)[7].
Знаменитый итальянский математик Никколо Тарталья (XVI век) в своем известном учебнике арифметики писал о методе следующее[6]Шаблон:Rp: Шаблон:Начало цитаты Второй способ деления называется в Венеции лодкой или галерой вследствие некоторого сходства фигуры, получающейся при этом, потому что при делении некоторых родов чисел составляется фигура, похожая на лодку, а в других — на галеру, которая в самом деле красиво выглядит; галера получается иной раз хорошо отделанная и снабженная всеми принадлежностями — выкладывается из чисел так, что она действительно представляется в виде галеры с кормою и носом, мачтою, парусами и веслами. Шаблон:Oq Шаблон:Конец цитаты
Интересно отметить, что метод галеры с использованием чернил был привезён обратно в Китай из Европы и опубликован в Шаблон:Iw 1613 года[4].
В России метод галеры употреблялся до середины XVIII века: в «Арифметике» Леонтия Магницкого он описан в числе шести предлагаемых там способов деления и особо рекомендуется автором; на протяжении изложения материала своей книги Магницкий пользуется в основном методом галеры, не упоминая при этом самого наименования[6]Шаблон:Rp.
С методом галеры конкурировал так называемый «итальянский метод»[3] (или «золотое деление»[5]), который сейчас известен как деление столбиком. Этот метод появился в печати в 1491 году в «Арифметике»[8] Шаблон:Iw, хотя ещё раньше встречался в рукописях XV века[3]. В нём частичное произведение явно вычислялось и записывалось под делимым, потом вычиталось из делимого, и результат записывался снизу. Вычитание производилось, как и при обычном сложении столбиком, начиная с младших разрядов, что позволяло экономить на записи, но при этом требовалось запоминать в уме перенос разряда[3]. Основным преимуществом этого метода является то, что по его записи видны все действия — это позволяет легче проверить вычисления и быстро исправить ошибки. Однако недостатком этого метода является то, что в нём нужно умножать многозначные числа на однозначные[5].
Впоследствии появился Шаблон:Iw («австрийский метод»). Он был похож на итальянский, но, в отличие от него, в нём, как в методе галеры, не вычислялись частичные произведения явно — они сразу вычитались поразрядно. Однако, в отличие от метода галеры, вычитания производились начиная с младших разрядов, что позволяло экономить на записи. Таким образом этот метод совмещал в себе преимущества метода галеры и итальянского метода[3]. Недостатком этого метода является то, что вычислителю нужно больше информации хранить в уме.
Все эти методы конкурировали в Европе с «железным делением»: методом деления с помощью абака, описанным монахом-математиком Гербертом (будущим папой Сильвестром II)[5].
Сущность метода
Метод галеры, хотя и более сложный в записи, похож на современный метод деления столбиком. Так же, как и при делении столбиком, частное вычисляется по цифрам, начиная со старшего разряда: на каждом шаге подбирается одна цифра частного. В качестве цифры частного берётся наибольшая цифра такая, чтобы из делимого можно вычесть частичное произведение (произведение этой цифры на делитель, смещенный на соответствующее число разрядов), оставаясь в положительных числах. После этого из делимого вычитается частичное произведение, сам делитель сдвигается на один разряд влево, и процесс повторяется. В отличие от современного деления столбиком, в методе галеры частичное произведение не вычисляется, а вычитание происходит по разрядам слева направо. Кроме того, в методе галеры результат вычитания записывается сверху, а не снизу.
Пример
Рассмотрим пример из «Шаблон:Iw» (1478 года), в котором делится 65284 на 594[4]. Пример разбит на несколько шагов: на каждом шаге полужирным шрифтом выделены цифры, которые добавляются на этом шаге, а курсивом цифры, которые зачёркиваются. Для простоты восприятия цифры, с которыми производятся действия, выделены цветом, в действительности в методе использовались чернила только одного цвета.
Вначале делитель (Шаблон:Red) записывался под делимым (Шаблон:Blue): Шаблон:Столбцы Шаблон:Столбец
Шаблон:Blue Шаблон:Red
Шаблон:Столбцы/конец Шаг 1: в Шаблон:Blue делитель Шаблон:Red входит только Шаблон:Green раз. Значит первая цифра частного Шаблон:Green. Записываем её справа, и вычитаем из делимого Шаблон:Green×Шаблон:Red (смещённое на два разряда). В методе галеры это делается слева направо: сначала вычитается первая цифра (5), потом вторая цифра (9), в конце последняя цифра (4) из соответствующих разрядов.
Шаг 2: Смещаем делитель на один разряд вправо (anterioratio). Так как полученный смещенный делитель (Шаблон:Red) больше того, что осталось от делимого (Шаблон:Blue…), то мы не можем вычесть делитель ни разу, значит, вторая цифра частного Шаблон:Green:
Шаблон:Blue Шаг 2: Шаблон:Red входит |
Шаг 3: Смещаем делитель ещё на один разряд вправо. Теперь нам надо из Шаблон:Blue вычесть Шаблон:Red. Это можно сделать Шаблон:Green раз. Записываем Шаблон:Green в частное и вычитаем из делимого Шаблон:Green×Шаблон:Red. При этом мы не вычисляем Шаблон:Green×Шаблон:Red, а просто вычитаем Шаблон:Green×Шаблон:Red, Шаблон:Green×Шаблон:Red и Шаблон:Green×Шаблон:Red из соответствующих разрядов.
Шаблон:Nbsp Шаблон:Blue Шаг 3: Шаблон:Red входит |
Шаблон:Darkorange Шаг 3а: Шаблон:Blue−Шаблон:Green×Шаблон:Red=Шаблон:Darkorange |
Шаг 3б: Шаблон:Blue−Шаблон:Green×Шаблон:Red=Шаблон:Darkorange |
Шаг 3в: Шаблон:Blue−Шаблон:Green×Шаблон:Red=Шаблон:Darkorange |
Ответ: деление 65284 на 594 даёт частное Шаблон:Green и Шаблон:Blue в остатке.
Полный результат вычислений |
Сравнение с другими методами
Для сравнения приведём то же самое деление, выполненное со стиранием цифр, а также итальянским и Шаблон:Iw методами[3]. Как было сказано выше, эти методы отличаются способом вычитания частичного произведения. Например, на последнем шаге вычитается частичное произведение 9×594. В итальянском методе вначале вычисляется 9×594=5346, а потом результат вычитается. В методе галеры и в методе со стиранием цифр произведение не вычисляется, а вычитается последовательно: 9×500, 9×90, 9×4. При этом в методе со стиранием цифр результат записывается на месте вычитаемого, а в методе галеры — сверху, а старые цифры зачёркиваются. Наконец, в австрийском методе произведение также не вычисляется, а вычитается последовательно: 9×4, 9×90, 9×500. Так как вычитания начинаются с младших разрядов, на каждом шаге записывается только один разряд, а старший разряд переносится, что позволяет сократить запись, но требует запоминания переноса в уме.
|
Файл:Galley Method erase animated.gif
|
65284Шаблон:Nbsp|Шаблон:Nbsp594Шаблон:Nbsp 594 | 109 5884 5346 538 Итальянский метод |
65284Шаблон:Nbsp|Шаблон:Nbsp594Шаблон:Nbsp 5884 | 109 538 Шаблон:Nbsp Шаблон:Nbsp Австрийский метод |
Варианты
Без зачёркивания цифр
Иногда цифры не зачёркивались. В этом случае считались только самые верхние и нижние цифры. При этом вместо зачёркивания записывались нули сверху колонки. См. иллюстрацию в начале статьи.
С вычислением частичных произведений
Иногда частичные произведения вычислялись. Такой вариант практически не отличается от современного деления столбиком. Единственное отличие состоит в месте написания цифр: метод галеры использует меньше бумаги, так как цифры записываются более компактно, без пустого места между ними. Но при делении столбиком вычисления лучше видны и их легче проверять.
В качестве примера этого варианта рассмотрим деление 44977 на 382[2]. Один рисунок соответствует получению одного десятичного разряда частного.
1) Шаблон:Darkorange (Умножение: Шаблон:Greenx382=Шаблон:Red) 382 | Шаблон:Blue77 | Шаблон:Green (Разность: Шаблон:Blue−Шаблон:Red=Шаблон:Darkorange) Шаблон:Red
2) Шаблон:Darkorange (Умножение: Шаблон:Greenx382=Шаблон:Red) Шаблон:BlueШаблон:Darkorange (Разность: Шаблон:Blue−Шаблон:Red=Шаблон:Darkorange) 382 | 449Шаблон:Blue7 | 1Шаблон:Green 382Шаблон:Red Шаблон:Red
3) Шаблон:Darkorange (Умножение: Шаблон:Greenx382=Шаблон:Red) Шаблон:BlueШаблон:Darkorange (Разность: Шаблон:Blue−Шаблон:Red=Шаблон:Darkorange) 67Шаблон:BlueШаблон:Darkorange 382 | 4497Шаблон:Blue | 11Шаблон:Green Ответ: Частное 117, остаток Шаблон:Darkorange. 3822Шаблон:Red 38Шаблон:Red Шаблон:Red
Проверка деления
Существовал метод проверки по остаткам от деления на небольшое число. Чаще всего использовался Шаблон:Iw, так как остаток при делении на 9 найти очень легко: достаточно найти сумму цифр числа. Однако этот метод проверки не ловил распространённые ошибки, когда цифра попадала не в тот разряд. Поэтому использовались также более надёжные, но сложные способы: проверка остатков на 7 или 11.
Суть метода заключается в следующем. Пусть при делении числа <math>A</math> на <math>B</math> получилось неполное частное <math>Q</math> и остаток <math>R</math>. Это значит, что <math>A=BQ+R</math>. Чтобы проверить это равенство, вычислялись остатки от <math>A</math>, <math>B</math>, <math>Q</math> и <math>R</math> на небольшое число (например, 9). Пусть эти остатки соответственно равны <math>a</math>, <math>b</math>, <math>q</math> и <math>r</math>. Тогда <math>a</math> и <math>bq+r</math> должны иметь одинаковый остаток.
Эти остатки записывались в виде «флага»: <math>\begin{array}{c|c}q&r\\\hline b&a\end{array}.</math> Иногда вместо креста +, использовался крест ×.
Например, Никколо Тарталья[1]Шаблон:Rp при делении Шаблон:Num на 1987 получил 459 и 312 в остатке. Чтобы проверить это, он взял остатки этих чисел от деления на семь: Шаблон:Num даёт остаток 0, 1987 даёт 6, 459 даёт 4, 312 даёт 4. Тарталья записывает это как <math>\begin{array}{c|c}4&4\\\hline 6&0\end{array}.</math> После чего проверяет, что <math>4\cdot 6 + 4</math> делится на семь с остатком 0. Значит результат прошёл проверку[9].
Извлечение корней
Аналогичный метод применялся для извлечения корней. Так же, как и при делении, ответ находился по разрядам.
Для извлечения квадратных корней на каждом шаге из числа вычитался квадрат уже полученного частичного ответа. При этом использовалась формула <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>. А именно, если на каком-то шаге к частичному ответу <math>a</math> приписывается цифра <math>b</math> (то есть новый частичный ответ <math>10a+b</math>), то нам нужно из исходного числа вычесть <math>(10a+b)^2</math>. Но <math>(10a)^2</math> мы уже вычли на предыдущем шаге. Поэтому нам осталось вычесть <math>(20a+b)b</math>. Для этого в методе галеры число <math>20a+b</math> записывалось снизу, цифра <math>b</math> записывалась справа, а потом производилось вычитание частичного произведения, как в обычном методе[11].
При извлечении корней более высоких степеней использовался бином Ньютона, который был известен ещё до Ньютона[12].
Примечания
Шаблон:Примечания Шаблон:Добротная статья
- ↑ 1,0 1,1 Шаблон:Книга
- ↑ 2,0 2,1 Шаблон:Книга
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокrolt-wheelerне указан текст - ↑ 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокlay-yongне указан текст - ↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 Шаблон:Книга
- ↑ 6,0 6,1 6,2 Шаблон:Книга
- ↑ 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокhinduне указан текст - ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
