Русская Википедия:Метод гиперболы Дирихле

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Метод гиперболы Дирихле — используемая в теории чисел техника вычисления суммы вида:

<math>\sum_{n \leqslant x} f(n)</math>,

где <math>f</math> — мультипликативная функция.

Названа в связи с использованием свёртки Дирихле — применяется для функции <math>f</math>, представленной как свёртка <math>f=g * h</math> пары мультипликативных арифметических функций <math>g</math> и <math>h</math>:

<math>\sum_{n\leqslant x}f(n)

= \sum_{n\leqslant x}\sum_{ab=n} g(a)h(b) = \sum_{a\leqslant\sqrt{x}}\sum_{b\leqslant\frac{x}{a}} g(a)h(b) + \sum_{b\leqslant\sqrt{x}}\sum_{a\leqslant\frac{x}{b}} g(a)h(b) - \sum_{a\leqslant\sqrt{x}}\sum_{b\leqslant\sqrt{x}} g(a)h(b)</math>.

Например, для функции числа делителей <math>\tau = 1 * 1</math>:

<math>\sum_{n \leqslant x} \tau (n) = x \log x + (2\gamma - 1)x + O(\sqrt x)</math>,

где <math>\gamma</math> — постоянная Эйлера — Маскерони.