Русская Википедия:Метод неопределённых коэффициентов
Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.
Применения
Ниже приведены задачи, которые решаются методом неопределённых коэффициентов. Система уравнений в них получается из приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях в равных многочленах.
Разложение дроби на простейшие
Шаблон:Основная статья Классическим примером применения метода неопределённых коэффициентов является разложение правильной рациональной дроби в комплексной или вещественной области на простейшие дроби.
Пусть <math>P</math> и <math>Q</math> — многочлены с комплексными коэффициентами, причём степень многочлена <math>P</math> меньше степени многочлена <math>Q</math>. Будем полагать, что степень многочлена <math>Q </math> равна <math>n</math>, коэффициент при старшем члене многочлена <math>Q</math> равен 1, а <math>z_k</math>, <math>k \le n</math> ― различные корни многочлена <math>Q</math> с кратностями <math>\alpha_k\ge 1</math>, соответственно. Отсюда имеем
- <math>Q(z) = (z-z_1)^{\alpha_1}(z-z_2)^{\alpha_2}..(z-z_k)^{\alpha_k},</math>
- <math>\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_k=n,</math>
Функция <math>P/Q</math> представима, и притом единственным образом, в виде суммы простейших дробей
- <math>\frac{P(z)}{Q(z)}=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{\alpha_i}\frac {A_{i,j}}{(z-z_i)^j},</math>
где <math>A_{i,j}</math> ― неизвестные пока комплексные числа (их число равно <math>n</math>). Для их отыскания обе части равенства приводят к общему знаменателю. После его отбрасывания и приведения в правой части подобных членов получается равенство, которое сводится к системе линейных уравнений относительно <math>A_{i,j}</math>.
Примечание. Нахождение коэффициентов упрощается, если <math>Q</math> имеет только некратные корни <math>z_k</math>, <math>k=1,...,n</math>, т.е. все <math>\alpha_k=1</math> и
- <math>\frac{P(z)}{Q(z)}=\sum_{i=1}^n\frac {A_{i}}{z-z_i}.</math>
После умножения на <math>z-z_k</math> последнего равенства и подстановки <math>z = z_k</math> непосредственно получаем значение соответствующего коэффициента
- <math>A_k = \frac{P(z_k)}{\prod\limits_{i\neq k}(z_k-z_i)}, \quad k=1,...,n.</math>.
Интегрирование
При вычислении неопределённого интеграла от рациональной функции метод неопределённых коэффициентов используется при разложении дроби на сумму простейших, как описано выше, а также в методе Остроградского, применяемом если корни знаменателя дроби имеют большую кратность. Он также используется при интегрировании иррациональностей вида
<math>{P_{n}(x)\over\sqrt{ax^2+bx+c}},</math>
где <math>P_{n}(x)</math> многочлен степени n. Тогда
<math>\int{P_{n}(x)\over\sqrt{ax^2+bx+c}}dx=P_{n-1}(x)\sqrt{ax^2+bx+c}+\lambda\int {dx\over\sqrt{ax^2+bx+c}}.</math>
После дифференцирования этого равенства, решая систему уравнений, определяют неопределённые коэффициенты многочлена <math>P_{n-1}(x)</math> степени n-1, а также <math>\lambda</math>[1].
Обращение ряда
Если функция <math>f(x)</math>, не равная нулю при <math>x=0</math> разложена в ряд Маклорена:
- <math>f(x)=a_1 x + a_2 x^2 + \ldots, </math>
то существует ряд Маклорена противоположной функции:
- <math>1/f(x)=b_1 x + b_2 x^2 + \ldots, </math>
Коэффициенты этого ряда можно найти, перемножив эти два равенства и применив метод неопределённых коэффициентов. Получится бесконечная треугольная система линейных уравнений, из которой последовательно найдутся искомые коэффициенты.
Аналогичным, но более громоздким, образом можно найти коэффициенты ряда обратной функции:
- <math>g(x)=c_1 x + c_2 x^2 + \ldots, </math>
При этом используется соотношение <math>g(f(x))=x</math>, то есть весь ряд для <math>f(x)</math> подставляется вместо <math>x</math> в ряд для <math>g(x)</math>.
Сумма степеней
В качестве частного примера можно привести задачу о нахождении формулы k-х степеней: <math>\sum_{i=0}^n i^k</math>. Будем искать ответ в виде многочлена <math>k+1</math>-ой степени от <math>n</math>. Коэффициенты же этого многочлена найдём с помощью метода неопределённых коэффициентов.
Пример. Ищем <math>\sum_{i=0}^n i^3</math> в виде <math>p(n) = a n^4+b n^3 +c n^2+d n +e</math>.
По определению <math>p(n)-p(n-1)=n^3</math>, а также <math>p(1)=1</math>. Подставляя многочлен в приведённой форме и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему для их определения:
- <math>
\begin{cases} 4 a-1=0\\ -6a+3b=0\\ 4 a - 3 b + 2 c = 0\\ -a + b - c + d =0\\ a+b+c+d+e=1 \end{cases}, </math> откуда получаем ответ: <math>\sum_{i=0}^n i^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}</math>
Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения
Шаблон:Заготовка раздела В некотором смысле данное применение является обобщением предыдущего — в том случае искалось решение разностного уравнения <math>\Delta p(n)=n^3</math>, здесь же ищется решение уравнения <math>a_n f^{(n)}(x)+\ldots + a_2 f(x)+a_1 f'(x)+a_0 f(x)=g(x)</math>.
Обычно метод неопределённых коэффициентов применяют в случаях, когда правая часть представляет собой алгебраический или тригонометрический полином.
Примечания
Ссылки
