Русская Википедия:Метод обратной задачи рассеяния
Ме́тод обра́тной зада́чи рассе́яния — аналитический метод решения задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений. Основан на связи нелинейного уравнения с данными рассеяния семейства вспомогательных линейных дифференциальных операторов, дающей возможность по эволюции данных рассеяния восстановить эволюцию решения нелинейного уравнения.
Метод представляет собой аналог метода Фурье решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Роль преобразования Фурье при этом играет отображение коэффициентных функций линейного дифференциального оператора в совокупность данных рассеянияШаблон:Sfn. При применении метода необходимо решать обратную задачу рассеяния, которая состоит в восстановлении линейного дифференциального оператора по его данным рассеяния.
В основе метода лежит представление исследуемого нелинейного уравнения в виде условия совместности системы линейных уравнений, называемое представлением ЛаксаШаблон:Sfn.
Для интегрируемых методом обратной задачи уравнений характерно существование специальных точных решений — солитонов («уединённых волн»).
История
Метод обратной задачи рассеяния берет начало в 1967 году в работе К. С. Гарднера, Дж. М. Грина, М. Д. Крускала и Р. М. Миуры, применивших его к уравнению Кортевега — де Фриза (КдФ)[1]. Это уравнение было выведено в конце XIX века для описания волн на мелкой воде. Тогда же были получены некоторые его точные решения — солитоны. Интерес к солитонам возобновился в связи с исследованиями по физике плазмы в 60-х годах XX века. В 1965 году М. Д. Крускал и Н. Забужский обнаружили путём численного моделирования, что солитоны уравнения Кортевега — де Фриза сталкиваются упруго (эффект, совершенно не характерный для линейных волн)[2]. Этот результат дал толчок к новым аналитическим исследованиям, которые в результате привели к возникновению метода обратной задачи.
Дальнейшее развитие метод получил в работе П. Лакса, который вскрыл лежащий в основе алгебраический механизм[3]. Позднее К. С. Гарднер, В. Е. Захаров и Л. Д. Фаддеев построили теорию уравнения Кортевега — де Фриза как гамильтоновой системы.
В 1971 году В. Е. Захаров и А. Б. Шабат применили метод обратной задачи к другому важному для физики уравнению — нелинейному уравнению Шрёдингера[4]. Вскоре М. Вадати, используя идеи прямой и обратной задачи рассеяния, предложил решение модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза (мКдФ), а М. Абловиц, Д. Кауп, А. Ньюэлл и Х. Сигур проделали то же самое для уравнения синус-Гордона[5]. Затем М. Абловиц, Д. Кауп, А. Ньюэлл и Х. Сигур предложили схему, позволяющую по заданной задаче рассеяния построить иерархию нелинейных эволюционных уравнений, решаемых методом обратной задачи[6].
В дальнейшем при помощи метода обратной задачи рассеяния было построено решение для разностного аналога уравнения Кортевега — де Фриза — цепочки Тоды, изучены периодические и почти периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза (до этого речь шла о решениях, быстро убывающих на бесконечности), получены решения других нелинейных уравненийШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Описание метода на примере уравнения Кортевега — де Фриза
Связь с оператором Штурма — Лиувилля
Уравнение Кортевега — де Фриза
- <math> u_t - 6 u u_x + u_{xxx} = 0</math>
является условием совместности переопределённой системы линейных уравнений:
- <math>
\begin{cases} (L - k^2) \psi = 0, \\ \psi_t + A \psi = 0, \end{cases} </math> где
- <math> L = -\frac{d^2}{dx^2} + u(x, t) </math>
— оператор Штурма — Лиувилля,
- <math> A = 4\frac{d^3}{dx^3} - 3 \left( u \frac{d}{dx} + \frac{d}{dx} u \right), </math>
и эквивалентно следующему операторному соотношению, называемому представлением Лакса:
- <math> L_t = [L, A] = LA - AL. </math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn
Прямая задача рассеяния
Спектр оператора Штурма — Лиувилля (оператора Шрёдингера)
- <math>L = -\frac{d^2}{d x^2} + u(x), \quad -\infty < x < \infty</math>
с потенциалом <math>u(x)</math>, достаточно быстро убывающим при <math>x \to \pm \infty</math>, состоит из двух компонент: непрерывной, включающей положительную полуось <math>k^2 > 0</math>, и конечного числа отрицательных дискретных собственных значений <math>-p_n^2, \, n = 1, 2, \dots, N</math>. Для характеристики непрерывной части спектра вводится решение уравнения <math>L \psi = k^2 \psi</math>, определяемое асимптотическими граничными условиями
- <math> \psi(x, k) \sim T(k) e^{-ikx}, \quad x \to -\infty,</math>
- <math> \psi(x, k) \sim e^{-i k x} + R(k) e^{i k x}, \quad x \to +\infty.</math>
Данные условия однозначно определяют решение <math>\psi(x, k)</math>, а также коэффициенты прохождения <math>T(k)</math> и отражения <math>R(k)</math>. Собственным значениям <math>-p_n^2</math> отвечают собственные функции <math>f_n(x)</math> и нормировочные константы
- <math>\rho_n = \left[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_n^2(x)\, dx \right]^{-1}.</math>
Данными рассеяния оператора <math>L</math> называется набор величин:
- <math> J = \left\{ R(k), \, -\infty < k < +\infty; \, p_n, \rho_n, \, n = 1, 2, \dots, N \right\}.</math>
Прямая задача рассеяния заключается в определении данных рассеяния по заданному потенциалу <math>u</math>Шаблон:Sfn.
Обратная задача рассеяния
Обратная задача рассеяния состоит в восстановлении оператора <math>L</math> (а именно, его потенциала <math>u</math>) по данным рассеяния. Один из основных методов решения обратной задачи рассеяния основан на уравнении Гельфанда — Левитана — Марченко:
- <math> K(x, y) + M(x + y) + \int\limits_x^{\infty} K(x, z) M(z + y) \, dz = 0, \quad y > x.</math>
Это интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функции <math>K(x, y)</math> (при каждом фиксированном <math>x</math>). Оно связывает функцию <math>M(x)</math>, которая строится по данным рассеяния:
- <math> M(x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} R(k) e^{i k x} \, dk + \sum_{n = 1}^N \rho_n e^{-p_n x} </math>
с функцией <math>K(x, y)</math>, по которой можно найти потенциал:
- <math>u(x) = -2\frac{d}{dx} K(x, x). </math>Шаблон:Sfn
Эволюция данных рассеяния
Если функция <math>u(x, t)</math> меняется во времени как решение уравнения Кортевега — де Фриза, то эволюция данных рассеяния во времени имеет вид
- <math> R(k, t) = R(k, 0) e^{8 i k^3 t}, \quad p_n(t) = p_n(0), \quad \rho_n(t) = \rho_n(0) e^{8 p_n^3 t}. </math>
Верно и обратноеШаблон:Sfn.
Схема метода
Решение задачи Коши для уравнения Кортевега — де Фриза методом обратной задачи рассеяния разбивается на три этапа:
- Решить прямую задачу рассеяния: по заданному начальному условию <math>u(x, 0)</math> найти данные рассеяния <math>J(0)</math>.
- По <math>J(0)</math> найти <math>J(t)</math>, используя формулы для эволюции данных рассеяния.
- Решить обратную задачу рассеяния: по данным рассеяния <math>J(t)</math> восстановить функцию <math>u(x, t)</math> — искомое решение задачи Коши.
Стоит отметить, что все этапы схемы связаны с изучением линейных задачШаблон:Sfn.
Солитоны
Прямая и обратная задачи рассеяния решаются точно для безотражательных потенциалов, для которых коэффициент отражения <math>R(k)</math> тождественно равен нулю. В этом случае решение обратной задачи имеет вид
- <math>u(x) = -2\frac{d^2}{dx^2}\ln \det A(x), </math>
где <math>A(x)</math> — <math>N \times N</math> матрица с элементами
- <math> A_{nm} = \delta_{nm} + \frac{\rho_n}{p_n + p_m} e^{-(p_n+p_m)x} </math>
(здесь <math>\delta_{nm}</math> — символ Кронекера). Свойство безотражательности сохраняется по времени. Временная динамика безотражательных потенциалов получается заменой
- <math> \rho_n \, \to \, \rho_n e^{8 p_n^3 t}</math>
в определении матрицы <math>A</math>. Простейший безотражательный потенциал с одним дискретным уровнем <math>p_1 = \varkappa</math> называется солитоном и имеет вид
- <math>u(x, t) = -\frac{2 \varkappa^2}{\operatorname{ch}^2 \varkappa(x - 4 \varkappa^2 t - \varphi)},</math>
где введено обозначение
- <math> \varphi = \frac{1}{2\varkappa} \ln \frac{\rho_1}{2 \varkappa}. </math>Шаблон:Sfn
Интегрируемые уравнения
- Уравнение Кортевега — де Фриза
- Нелинейное уравнение Шрёдингера
- Уравнение синус-Гордона
- Цепочка Тоды
- Модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза
- Уравнение Кадомцева — Петвиашвили
- Уравнение Ишимори
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Книга:Физическая энциклопедия
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
