Русская Википедия:Метод разделения переменных
Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных переменных величин, причем одни из них являются функциями других.
В применении к уравнениям в частных производных схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье. В этом случае метод также называют методом Фурье (в честь Жана Батиста Фурье, построившего решения уравнения теплопроводности в виде тригонометрических рядов[1]) и методом стоячих волнШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение, правая часть которого есть произведение функции только от <math>x</math> на функцию только от <math>y</math> (при этом функция <math>y</math> является функцией от <math>x</math>). Шаблон:Sfn:
<math>\frac{dy}{dx} = g(x) h(y). \qquad (1)</math>
При <math>h(y) \ne 0</math> это уравнение можно переписать в виде
<math>\frac{dy}{h(y)} = g(x) dx</math>.
Пусть <math>y(x)</math> — некоторое решение уравнения (1). Из равенства дифференциалов следует, что их неопределённые интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым:
<math> \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x) dx + C </math>.
Вычисляя интегралы, получим общий интеграл уравнения (1).
Если уравнение задано в видеШаблон:Sfn:
<math> M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0, </math>
то для разделения переменных не нужно приводить его к виду (1). Достаточно разделить обе части на <math> N(y) P(x)</math>:
<math> \frac{M(x) dx}{P(x)} + \frac{ Q(y)dy}{N(y)} = 0, </math>
откуда получится общий интеграл
<math> \int \frac{M(x) dx}{P(x)} + \int \frac{ Q(y)dy}{N(y)} = C. </math>
Пример
Пусть
<math>x dy - y dx = 0</math>Шаблон:Sfn.
Разделяя переменные, получим
<math> \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}. </math>
Интегрируя обе части последнего равенства, будем иметь
<math> \ln|y| = \ln|x| + \ln C_1, </math>
где <math>C_1</math> — положительная постоянная. Отсюда
<math> |y| = C_1 |x| </math>
или
<math> y = Cx, </math>
где <math>C = \pm C_1</math> — произвольная постоянная, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Решениями данного дифференциального уравнения являются также функции <math> x = 0 </math> и <math> y = 0 </math>. Последнее решение получается из общего решения <math> y = C x </math> при <math> C = 0 </math>.
Уравнения в частных производных
Метод разделения переменных применяется для решения краевых задач для линейных уравнений второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов, а также для некоторых классов нелинейных уравнений и уравнений высших порядков Шаблон:Sfn.
Однородное уравнение
Приведем схему метода для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концахШаблон:Sfn:
<math> u_{tt} = a^2 u_{xx}, \qquad (2) </math>
<math> u(0,t) = 0, \quad u(l, t) = 0, \qquad (3) </math>
<math> u(x, 0) = \varphi(x), \quad u_t(x, 0) = \psi(x). \qquad (4) </math>
Будем искать тождественно не равные нулю решения уравнения (2), удовлетворяющие краевым условиям (3) в виде произведения
<math> u(x, t) = X(x) T(t). \quad (5) </math>
Подставим предполагаемый вид решения в уравнение (2) и поделим на <math> a^2 X(x) T(t) </math>:
<math> \frac{X(x)}{X(x)} = \frac{T(t)}{a^2 T(t)}. \qquad (6) </math>
Левая часть равенства (6) является функцией только переменного <math>x</math>, правая — только <math>t</math>. Следовательно, обе части не зависят ни от <math>x</math>, ни от <math>t</math> и равны некоторой константе <math>-\lambda</math>. Получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций <math>X(x)</math> и <math>T(t)</math>:
<math> X(x) + \lambda X(x) = 0, \quad X(x) \not \equiv 0, \qquad (7) </math>
<math> T(t) + a^2 \lambda T(t) = 0, \quad T(t) \not \equiv 0, \qquad (8) </math>
Подставляя (5) в краевые условия (3), получаем
<math> X(0) = X(l) = 0. \qquad (9) </math>
Приходим к задаче Штурма-Лиувилля (7),(9). Эта задача имеет нетривиальные решения (собственные функции)
<math> X_n(x) = \sin \frac{\pi n }{l} x, </math>
определяемые с точностью до произвольного множителя только при значениях <math>\lambda</math>, равных собственным значениям
<math> \lambda_n = \left(\frac{\pi n}{l}\right)^2, \quad n = 1, 2, 3, \dots </math>
Этим же значениям <math>\lambda_n</math> соответствуют решения уравнения (8)
<math> T_n(t) = A_n \cos \frac{\pi n}{l} at + B_n \sin \frac{\pi n}{l} at, </math>
где <math> A_n </math> и <math> B_n </math> — произвольные постоянные.
Таким образом, функции
<math> u_n(x, t) = X_n(x) T_n(t) </math>
являются частными решениями уравнения (2), удовлетворяющими условиям (3). Решение задачи (2)-(4) получается в виде бесконечной суммы частных решений
<math> u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} u_n(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left(A_n \cos \frac{\pi n}{l} at + B_n \sin \frac{\pi n}{l} at \right) \sin \frac{\pi n }{l} x, </math>
где константы <math>A_n</math> и <math>B_n</math> могут быть найдены из начальных условий (4) как коэффициенты Фурье функций <math> \varphi(x)</math> и <math> \psi(x) </math>:
<math> A_n = \frac{2}{l} \int_0^l \varphi(x) \sin \frac{\pi n}{l} x dx, \quad B_n = \frac{2}{\pi n a} \int_0^l \psi(x) \sin \frac{\pi n}{l} x dx. </math>
Метод разделения переменных также применим к уравнению колебаний струны общего вида
<math> \frac{\partial}{\partial x} \left[ k(x) \frac{\partial u}{\partial x} \right] - q(x) u = \rho(x) \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}, </math>
где <math>k</math>, <math>q</math> и <math>\rho</math> — непрерывные положительные на отрезке <math> 0 < x < l </math> функцииШаблон:Sfn. В этом случае решение строится в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля
<math> \frac{d}{d x} \left[ k(x) \frac{d X}{d x} \right] - q(x) X + \lambda \rho(x) X = 0, \quad X(0) = X(l) = 0. \qquad (10) </math>
Основополагающие работы по обоснованию метода Фурье принадлежат В. А. СтекловуШаблон:Sfn. Теорема Стеклова утверждает, что при определенных условиях любая функция единственным образом разлагается в ряд Фурье по собственным функциями краевой задачи (10).
Неоднородное уравнение
Метод разделения переменных для неоднородных уравнений иногда называют методом Крылова в честь А. Н. КрыловаШаблон:Sfn. При решении краевой задачи для уравнения неоднородного уравнения колебаний струны
<math> u_{tt} = a^2 u_{xx} + f(x, t) \quad (11) </math>
функции <math>u</math> и <math>f</math> разлагаются в ряды Фурье по системе собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для соответствующего однородного уравнения (2):
<math> u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} T_n(t) \sin \frac{\pi n}{l}x, </math>
<math> f(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_n(t) \sin \frac{\pi n}{l} x. </math>
Подстановка полученных рядов в уравнение (11) с учетом ортогональности системы <math> \left \{ \sin \frac{\pi n}{l} x \right \} </math> даёт уравнение относительно <math>T_n(t)</math>:
<math> T_n(t) + a^2 \lambda_n T_n(t) = f_n(t). \qquad (12) </math>
Функции <math>T_n(t)</math> могут быть найдены как решения задач Коши для уравнений (12) с начальными условиями, полученными из начальных условий исходной краевой задачи.
Программное обеспечение
Xcas:[2] split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]
См. также
Примечания
Литература
