Русская Википедия:Метод регуляризации Тихонова
Метод регуляризации Тихонова — алгоритм, позволяющий находить приближённое решение некорректно поставленных операторных задач вида <math>Ax=u</math>. Был разработан А. Н. Тихоновым в 1965 году[1]. Основная идея заключается в нахождении приближённого решения уравнения <math>Ax = u</math> в виде <math>x_\delta = R(u_\delta, \alpha)</math>, где <math>R(u_\delta, \alpha)</math> — регуляризирующий оператор. Он должен гарантировать, что при приближении <math>u_\delta</math> к точному значению <math>u_T</math> при <math>\delta \to 0</math> приближённое решение <math>x_\delta</math> стремилось бы к желаемому точному решению <math>x_T</math> уравнения <math>Ax_T = u_T</math>Шаблон:Sfn.
Регуляризирующий оператор
Оператор <math>R(u, \alpha)</math>, зависящий от параметра <math>\alpha</math>, называется регуляризующим для уравнения <math>Ax = u</math>, если он обладает свойствами:
- Определён для всякого <math>\alpha > 0</math> и любого <math>u \in U</math>.
- Если выполняется <math>Ax_T = u_T</math>, то существует такое <math>\alpha(\delta)</math>, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> найдётся такое <math>\delta(\varepsilon)</math>, что если <math>\rho_U(u_T, u_\delta) \leqslant \delta(\varepsilon)</math>, то <math>\rho_F(x_T, x_\alpha) \leqslant \varepsilon</math>, где <math>x_\alpha = R(u_\delta, \alpha)</math>, <math>\alpha = \alpha(\delta)</math>, <math>\rho_U</math> — метрика в пространстве <math>U</math> (то есть <math>\rho_U(u_T, u_\delta)</math> — расстояние между векторами <math>u_T</math> и <math>u_\delta</math>), а <math>\rho_{F}</math> — метрика в пространстве <math>X</math>.
Способ построения регуляризирующих операторов
Для широкого класса уравнений <math>Ax=u</math> А. Н. Тихонов показал, что решение задачи <math>x_{\alpha}</math> минимизации функционала <math>M^{\alpha}\left [ u_{\delta}, x \right ] = \rho_{U}^{2}(Ax, u_{\delta})^2+\alpha \Omega \left [ x \right ]</math> можно рассматривать как результат применения регуляризирующего оператора, зависящего от параметра <math>\alpha</math> <math>x_{\alpha} = R_{1}(u_{\delta}, \alpha)</math>. Функционал <math>\Omega \left [ x \right ]</math> называется стабилизатором задачи <math>Ax=u</math>.
Пример применения
Найдём нормальное (наиболее близкое к началу координат) решение <math>X</math> системы линейных уравнений <math>AX=B</math> с точностью, соответствующей точности задания элементов матрицы <math>A</math> и столбца <math>B</math> в случае, когда значения элементов матрицы <math>A</math> и столбца свободных членов <math>B</math> заданы лишь приближённо.
Постановка задачи
Рассмотрим систему линейных уравнений в матричной форме: <math>AX = B</math>. Назовем сферическими нормами величины <math>\|B\| = \sqrt{ \sum_{i=1}^m b_i^2 }, \|X\| = \sqrt{ \sum_{j=1}^n x_j^2 }, \|A\| = \sqrt{ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 }</math>. Обозначим как <math>\tilde{A}, \tilde{B}</math> известные приближённые значения элементов матрицы <math>A</math> и столбца <math>B</math>. Матрицу <math>\tilde{A}</math> и столбец <math>\tilde{B}</math> будем называть <math>\delta</math>-приближением матрицы <math>A</math> и столбца <math>B</math>, если выполняются неравенства <math>\|A - \tilde{A}\| < \delta, \|B - \tilde{B}\| < \delta</math>. Введём в рассмотрение функционал <math>F(X, \tilde{A}, \tilde{B}) = \|\tilde{A} X - \tilde{B} \|^2 + \alpha \|X\|^2</math>. Теорема Тихонова сводит вопрос о приближённом нахождении нормального решения системы уравнений <math>AX = B</math> к отысканию того элемента <math>X^\alpha</math>, на котором достигает минимальное значение этот функционал.
Теорема Тихонова
Пусть матрица <math>A</math> и столбец <math>B</math> удовлетворяют условиям, обеспечивающим совместность системы <math>AX=B</math>, <math>X^{0}</math> — нормальное решение этой системы, <math>\tilde{A}</math> — <math>\delta</math>-приближение матрицы <math>A</math>, <math>\tilde{B}</math> — <math>\delta</math>-приближение столбца <math>B</math>, <math>\varepsilon \left( \delta \right)</math> и <math>\alpha \left( \delta \right)</math> — какие-либо убывающие функции <math>\delta</math>, стремящиеся к нулю при <math>\delta \rightarrow +0</math> и такие, что <math>\delta^{2} \leqslant \varepsilon \left( \delta \right)\alpha \left( \delta \right)</math>. Тогда для любого <math>\varepsilon > 0</math> найдётся положительное число <math>\delta_{0}</math> такое, что при любом <math>\delta < \delta_{0}</math> и при любом <math>\alpha</math>, удовлетворяющем условию <math>\frac{1}{\varepsilon \left( \delta \right)} \delta^2 \leqslant \alpha \leqslant \alpha \left( \delta \right)</math>, элемент <math>X^{\alpha}</math>, доставляющий минимум функционалу <math>F \left( X, \tilde{A}, \tilde{B} \right) = {\| \tilde{A} X - \tilde{B} \|}^{2} + \alpha {\| X \|}^{2}</math>, удовлетворяет неравенству <math>\| X^{\alpha} - X^{0} \| \leqslant \varepsilon</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
Примечания
Литература
