Русская Википедия:Метод релаксации

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Метод релаксации (от Шаблон:Lang-la тут «уменьшение») — итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений.

Описание метода

Система линейных уравнений

<math> \left\{ \begin{matrix} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n & = & b_1\\ a_{21}x_1 + \ldots + a_{2n}x_n & = & b_2\\

& \ldots & \\

a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn}x_n & = & b_n\\ \end{matrix} \right. </math>

приводится к виду

<math>\left\{ \begin{matrix} P_{11}x_1 + P_{12}x_2 + \ldots + P_{1n}x_n + c_1 & = & 0\\

& \ldots & \\

P_{n1}x_1 + P_{n2}x_2 + \ldots + P_{nn}x_n + c_n & = & 0\\ \end{matrix} \right. </math>

где <math>P_{ij} = -\frac{a_{ij}}{a_{ii}}</math>, <math>c_i = \frac{b_i}{a_{ii}}</math>. То есть все <math>P_{ii}</math> = -1.

Находятся невязки <math>R_{j}</math>:

<math> \left\{ \begin{matrix} R_1^{(0)} & = & c_1 - x_1^{(0)} + \sum \limits_{j = 2}^n P_{1j}x_j^{(0)}\\ R_2^{(0)} & = & c_2 - x_2^{(0)} + \sum \limits_{j = 1, j \neq 2}^n P_{2j}x_j^{(0)}\\

& \ldots & \\

R_n^{(0)} & = & c_n - x_n^{(0)} + \sum \limits_{j = 1}^{n - 1} P_{nj}x_j^{(0)}\\ \end{matrix} \right. </math>

Выбирается начальное приближение <math>X^{(0)} = 0</math>. На каждом шаге необходимо обратить в ноль максимальную невязку: <math>R_s^{(k)} = \delta x_s^{(k)} \Rightarrow R_s^{(k + 1)} = 0, R_i^{(k + 1)} = R_i^{(k)} + P_{is} \delta x_s^{(k)}</math>.

Условие остановки: <math>|R_j^{(k)}| < \varepsilon, \forall j = \overline{1, n}</math>.

Ответ находится по формуле: <math>x_i \approx x_i^{(0)} + \sum_j \delta x_i^{(j)}</math>.