Русская Википедия:Метод спектрального элемента
Метод спектрального элемента (МСЭ) для решения дифференциальных уравнений в частных производных — это метод конечных элементов, в котором используются кусочные многочлены высокой степени в качестве базисных функций. Метод спектрального элемента предложил в статье 1984 годаШаблон:Sfn Т. Патера.
Обсуждение
Спектральный метод представляет решение в виде тригонометрического ряда. Основные преимущества метода заключается в том, что он очень высокого порядка. Этот подход опирается на факт, что тригонометрические многочлены являются ортогональным базисом для <math>L^2(\Omega)</math>Шаблон:Sfn. Метод спектрального элемента выбирает вместо них высокого порядка базисные функции в виде кусочных многочленов, которые также дают очень высокий порядок точности. Такими многочленами обычно выбираются ортогональные многочлены Чебышёва или многочлены Лежандра очень высокого порядка над неоднородными пространственными узлами (сетки). В МСЭ вычислительная ошибка уменьшается экспоненциально по мере роста порядка аппроксимирующих многочленов, потому быстрой сходимости решения к точному решению удаётся получить с меньшей степенью свободы структуры по сравнению с методом конечных элементов (МКЭ). При Шаблон:Не переведено 5 МКЭ может быть использован для определения больших дефектов в структуре, но, когда размер дефектов уменьшается, нужно использовать более высокую частоту с меньшей длиной волны. Поэтому сетка МКЭ должна быть много тоньше, что ведёт к увеличению времени вычисления и менее точным решениям. МСЭ с меньшим числом степеней свободы на узел может быть полезен для определения малых дефектов. Неоднородность узлов сетки помогает привести матрицу масс к диагональному виду, что экономит время и память, а также это полезно для применения метода Шаблон:Не переведено 5. В недостатки МСЭ входит трудность в моделировании сложных геометрий, по сравнению с гибкостью МКЭ.
Априорная оценка ошибки
Классический анализ методов Галёркина и Шаблон:Не переведено 5 применимы здесь и можно показать, что если u является решением слабого уравнения, uN является приближённым решением и <math>u \in H^{s+1}(\Omega)</math>:
- <math>\|u-u_N\|_{H^1(\Omega)} \leqslant C_s N^{-s} \| u \|_{H^{s+1}(\Omega)}</math>,
где C не зависит от N, а s не превосходит степени кусочных многочленов базиса. При увеличении N мы можем также увеличить степень базисных функций. В этом случае, если u является аналитической:
- <math>\|u-u_N\|_{H^1(\Omega)} \leqslant C \exp( - \gamma N )</math>,
где <math>\gamma</math> зависит только от <math>u</math>.
Связанные методы
- G-NI и SEM-NI являются наиболее употребительными спектральными методами. Формулировка Галёркина спектральных методов и методов спектральных элементов для G-NI и SEM-NI соответственно модифицируется и используется метод интегрирования Гаусса в определении билинейной формы <math>a(\cdot,\cdot)</math> и функционала <math>F</math>. Эти методы являются семейством Шаблон:Не переведено 5. Их сходимость есть следствие леммы Стренга.
- Метод спектральнго элемента использует пространство c тензорным произведением, натянутое на узловые базисные функции, ассоциированные с точками Гаусса — Лобатто. Для контраста, Шаблон:Не переведено 5 работает с пространством многочленов высокого порядка, натянутым на неузловые базисные функции, выбранные приблизительно ортогональными для вычислительной устойчивости. Поскольку не обязательно все внутренние базисные функции должны быть представлены, p-версия метода конечных элементов может создать пространство, содержащее все многочлены вплоть до заданной степени с меньшей степенью свободы Шаблон:Sfn. Однако некоторые возможные техники ускорения для спектральных методов ввиду их характера как тензорного произведения здесь больше не работают. Название p-версия означает, что точность увеличивается за счёт порядка аппроксимирующих многочленов, а не уменьшение размера сетки h.
- Метод hp конечных элементов (Шаблон:Не переведено 5) комбинирует преимущества h и p улучшений для получения экспоненциальной сходимостиШаблон:Sfn.
Примечания
Литература
Шаблон:Методы решения ДУ Шаблон:Rq
