Русская Википедия:Метод суперпозиции
Метод суперпозиции — метод решения краевой задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений путём преобразования в задачу Коши.
Описание метода
Основная идея метода суперпозиции заключается в преобразовании граничной задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений к двум или нескольким задачам Коши, которые можно решить одним из методов решения задач Коши, например методом Рунге-Кутта. Это преобразование осуществляется путём представления искомого решения <math>x(t)</math> в виде линейной суммы <math>x(t)=x_{1}(t)+C_{1}x_{2}(t)+...+C_{N}x_{N}(t)</math> нескольких функций <math>x_{1}(t), x_{2}(t), ... x_{N}(t)</math>, включающей столько неизвестных констант <math>C_{1}, ..., C_{N}</math>, сколько недостаёт начальных условий для приведения к задаче Коши. Затем это представление <math>x(t)</math> подставляется в исходное дифференциальное уравнение и в результате получаем систему из <math>N+1</math> дифференциальных уравнений. При подстановке представления в условия для границ даёт возможность вычислить начальные условия задачи Коши и неизвестные константы <math>C_{1}, ..., C_{N}</math>.
Пример
Рассмотрим краевую задачу, определяемую линейным дифференциальным уравнением второго порядка:
<math>f(t, x, \frac{dx}{dt}, \frac{d^{2}}{dt^{2}}) = r(t)</math> (1)
и граничными условиями
<math>x(0)=x_{0}, x(1)=x_{1}</math> (2).
Для приведения краевой задачи к задаче Коши недостаёт одного условия, поэтому представим решение в виде
<math>x(t)=x_{1}(t)+C_{1}x_{2}(t)</math> (3)
с одной неизвестной константой <math>C_{1}</math>.
Подставив это разложение в (1) получаем:
<math>[f(t, x_{1}, \frac{dx_{1}}{dt}, \frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}}) - r(t)] + C_{1}[f(t, x_{2}, \frac{dx_{2}}{dt}, \frac{d^{2}x_{2}}{dt^{2}})] = 0</math>
В этом уравнении оба слагаемых должны быть равны нулю.
<math>f(t, x_{1}, \frac{dx_{1}}{dt}, \frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}})= r(t)</math> (4)
<math>f(t, x_{2}, \frac{dx_{2}}{dt}, \frac{d^{2}x_{2}}{dt^{2}}) = 0</math> (5)
Первое граничное условие в (2) принимает вид:
<math>x_{1}(0)+C_{1}x_{2}(0)=x_{0}</math>,
отсюда вытекает:
<math>x_{1}(0)=x_{0}, x_{2}(0)=0</math> (6 a, b)
Начальные условия для производной найдем путём дифференцирования (3) в точке 0:
<math>\frac{dx(0)}{dt}=\frac{dx_{1}(0)}{dt}+C_{1}\frac{dx_{2}(0)}{dt}</math> (7)
Граничные условия для производной можно положить:
<math>\frac{dx_{1}(0)}{dt} = 0, \frac{dx_{2}(0)}{dt} = 1</math> (8 a, b)
Из (6) получаем:
<math>\frac{dx(0)}{dt} = C_{1}</math> (9)
Граничное условие во второй точке имеет вид:
<math>x_{1}(1)+C_{1}x_{2}(1)=x_{1}</math>
Из этого уравнения получаем:
<math>C_{1}=\frac{[x_{1}-x_{1}(1)]}{x_{2}(1)}</math>. (10)
Итак, мы получили все начальные данные для задачи Коши. Граничная задача (1), (2) решается следующим образом:
- Интегрируем уравнение (4) с начальными условиями (6 a), (8 a) от 0 до 1. Получаем <math>x_{1}(1)</math>.
- Интегрируем уравнение (5) с начальными условиями (6 b), (8 b) от 0 до 1. Получаем <math>x_{2}(1)</math>.
- По формуле (10) вычисляем константу <math>C_{1}</math>, которая в силу (9) является недостающим начальным значением.
- По формуле (3) вычисляем решение исходной задачи.
Литература
- Ц. На Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. - М.: Мир, 1982.
