Русская Википедия:Метод фазовых функций
Метод фазовых функций — метод решения задач квантовой механики. Основан на понятии фазовой функции, имеющей ясный физический смысл. При рассмотрении движения элементарной частицы в потенциальном поле, если за начало системы отсчёта <math>R=0</math> принять центр рассеивающего потенциала, то фазовая функция в точке <math>r</math> равна фазе рассеяния на части потенциала, содержащейся в шаре радиуса <math>r</math>.
Фазовая и амплитудная функции
Рассмотрим рассеяние частицы без спина на сферически-симметричном потенциале <math>V(r)</math>. Уравнение Шредингера для радиальной волновой функции <math>u_{l}(r)</math> имеет вид:
<math>\frac{d^{2}}{dr^{2}}u_{l}(r) + \Bigl[k^2 - \frac{l(l+1)}{r^2}-V(r)\Bigr]u_{l}(r)=0</math> (1).
Здесь <math>k^2</math> — значение энергии частицы, <math>l</math> — значение орбитального момента частицы.
Решение этого уравнения имеет вид:
<math>u_{l}(r) \approx C [j_{l}(kr)-\tan\delta_{l}n_{l}(kr)]</math>
или
<math>u_{l}(r) \rightarrow C sin(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_{l}), r \rightarrow \infty</math>.
Здесь <math>j_{l}(kr)</math> и <math>n_{l}(kr)</math> — функции Риккати-Бесселя.
Введём в рассмотрение фазовую функцию <math>\delta_{l}(r)</math> и амплитудную функцию <math>A_{l}(r)</math>, исходя из двух условий:
<math>u_{l}(r)=A_l(r)[\cos\delta_l(r)j_l(kr)-\sin\delta_l(r)n_l(kr)]</math> (2)
и
<math>\frac{d}{dr}u_l(r)=A_l(r)[\cos\delta_l(r)\frac{d}{dr}j_l(kr)-\sin\delta_l(r)\frac{d}{dr}n_l(kr)]</math> (3).
Второе условие равносильно
<math>\frac{dA_{l}}{dr}[\cos\delta_{l}j_{l}-\sin\delta_{l}n_{l}]-\frac{d\delta_{l}}{dr}A_{l}[\sin\delta_{l}j_{l}+\cos\delta_{l}n_{l}]=0</math>.
Продифференцировав уравнение <math>(3)</math>, подставим выражение для второй производной <math>u_l</math> вместе с уравнением <math>(2)</math> в уравнение Шредингера <math>(1)</math>. Получим уравнение для фазовой функции <math>\delta_l(r)</math>:
<math>\frac{d}{dr}\delta_l(r)=-\frac{1}{k}V(r)[\cos\delta_l(r)j_l(kr)-\sin\delta_l(r)n_l(kr)]^2</math> (4)
и начальное условие:
<math>\delta_l(0)=0</math> (4).
Аналогичным образом можно получить уравнение для амплитудной функции:
<math>\frac{d}{dr}A_l(r)=-\frac{1}{k}A_l(r)V(r)[\cos\delta_l(r)j_l(kr)-\sin\delta_l(r)n_l(kr)][\sin\delta_l(r)j_l(kr)+\cos\delta_l(r)n_l(kr)]</math> (5).
Фазовое уравнение <math>(4)</math> отражает связь фазы рассеяния с потенциалом. Оно является уравнением Риккати первого порядка и удобно для применения численных методов вычислений. На основе метода фазовых функций также можно вычислять амплитуды рассеяния, элементы S-матрицы, параметры рассеяния, энергии связанных состояний, функции Грина, коэффициенты прохождения через потенциальный барьер.
Литература
- Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике. — Шаблон:М.: Наука, 1976. — С. 287.
- Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике // УФН, № 5, 1967.
- Герштейн С. С., Пономарёв Л. И. Метод фазовых функций в квантовой механике // УФН, № 5, 1971.
- Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния. — Шаблон:М.: Мир, 1972. — С. 292.
