Русская Википедия:Метрика Громова — Хаусдорфа

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Метрика Громова — Хаусдорфа — способ определить расстояние между двумя компактными метрическими пространствами. Более точно, это метрика на множестве изометрических классов компактных метрических пространств.

Эта метрика была введена Эдвардсом в 1975 г.[1][2], а затем переоткрыта и обобщена М. Л. Громовым в 1981 г.[3]. Громов использовал эту метрику в доказательстве теоремы о группах полиномиального роста.

Определение

Расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами компактных метрических пространств <math>X</math> и <math>Y</math> определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между их образами при глобально изометрических вложениях <math>X\hookrightarrow Z</math> и <math>Y\hookrightarrow Z</math> в общее метрическое пространство <math>Z</math>. При этом точная нижняя грань берётся как по всем глобально изометрическим вложениям и по всем пространствам <math>Z</math>.

Эквивалентным образом, можно определить расстояние Громова — Хаусдорфа как точную нижнюю грань расстояний Хаусдорфа между <math>X</math> и <math>Y</math> в дизъюнктном объединении <math>X\sqcup Y</math>, снабжённым метрикой <math>\rho</math> такой, что сужение <math>\rho</math> на <math>X</math> совпадает с метрикой на <math>X</math> и сужение <math>\rho</math> на <math>Y</math> совпадает с метрикой на <math>Y</math>. При этом точная нижняя грань берётся по всем таким метрикам <math>\rho</math>.

Комментарии

  • Часто слова «изометрический класс» опускаются, то есть вместо «расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами <math>X</math> и <math>Y</math>» говорится «расстояние Громова — Хаусдорфа между <math>X</math> и <math>Y</math>».
  • Расстояние между изометрическими классами <math>X</math> и <math>Y</math> обычно обозначается <math>d_{GH}(X,Y)</math> или <math>|X,Y|_{GH}</math>.
  • Множество изометрических классов компактных метрических пространств, снабжённых метрикой Громова — Хаусдорфа, обычно обозначается <math>GH</math>, <math>\mathcal{M}</math> или <math>\mathfrak{M}</math>.
  • Собственный класс метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрий обозначается <math>\mathcal{GH}</math>.

Связанные определения

  • Последовательность изометрических классов компактных метрических пространств <math>X_n</math> сходится к изометрическому классу компактного метрического пространства <math>X_\infty</math>, если <math>d_{GH}(X_n,X_\infty)\to0</math> при <math>n\to\infty</math>

Свойства

  • Метрическое пространство <math>GH</math> является линейно связным, полным, сепарабельным.
    • Более того, <math>M</math> является геодезическим[4]; то есть, любые две его точки соединяются кратчайшей кривой, длина которой равна расстоянию между этими точками.
  • Пространство Громова — Хаусдорфа <math>GH</math> глобально неоднородно; то есть, его группа изометрий тривиальна[5], однако локально имеется много нетривиальных изометрий[6].
  • Пространство <math>GH</math> изометрично пространству классов конгруэнтности компактных подмножеств пространства Урысона <math>\mathcal{U}</math> с метрикой Хаусдорфа с точностью до движения <math>\mathcal{U}</math>.[7]
  • Любое вполне равномерно ограниченное семейство метрических пространств является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.
    • Семейство <math>X</math> метрических пространств называется вполне равномерно ограниченным, если диаметры всех пространств этого семейства ограничены одной и той же константой, и для любого <math>\varepsilon>0</math> существует такое целое положительное число <math>N(\varepsilon)</math>, что любое пространство из <math>X</math> допускает <math>\varepsilon</math>-сеть из не более чем <math>N(\varepsilon)</math> точек.
    • Из этого свойства, в частности, следует теорема Громова о компактности, аналогичная теореме выбора Бляшке для метрики Хаусдорфа.

Вариации и обобщения

  • В определении возможно заменить компактность на конечность диаметра, но при этом мы определим метрику на классе объектов (а не на множестве). То есть формально говоря, класс всех изометрических классов метрических пространств с конечным диаметром, снабжённый метрикой Громова — Хаусдорфа, не является метрическим пространством.
  • Если разрешить метрике принимать значение <math>\infty</math>, то можно также отказаться от конечности диаметра.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

  • M. Gromov. «Structures métriques pour les variétés riemanniennes», edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981.
  • M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (translation with additional content).
  • Шаблон:Книга
Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ D. Edwards, «The Structure of Superspace Шаблон:Wayback», in «Studies in Topology», Academic Press, 1975
  2. ↑ A. Tuzhilin, «Who Invented the Gromov-Hausdorff Distance? Шаблон:Wayback (2016)», arXiv:1612.00728
  3. ↑ M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematiques I.H.É.S., 53, 1981 Шаблон:Webarchive
  4. ↑ Шаблон:Citation
  5. ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  6. ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  7. ↑ Шаблон:Статья Шаблон:ArXiv
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Метрика_Громова_—_Хаусдорфа&oldid=10373356