Русская Википедия:Метрика Титса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Метрика Титса — метрика определённого типа на абсолюте пространства Адамара. Названа в честь Жака Титса.

Построение

Пусть <math>X</math> — пространство Адамара. Обозначим через <math>\partial_\infty X</math> его абсолют, то есть множество лучей исходящих из одной точки <math>p</math>.

Для двух лучей <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> из <math>\partial_\infty X</math> определяется угол <math>\measuredangle_\infty(\alpha,\beta)</math> как предел угла сравнения в треугольнике <math>[p\,\alpha(t)\,\beta(t)]</math> при <math>t\to\infty</math>, то есть угла в плоского треугольника с теми же сторонами, что у <math>[p\,\alpha(t)\,\beta(t)]</math> при вершине соответствующей <math>p</math>.

Угол <math>\measuredangle_\infty</math> определяет так называемую угловую метрику на <math>\partial_\infty X</math>, со значениями в интервале <math>[0,\pi]</math>.

Внутренняя метрика ассоциированная с <math>\measuredangle_\infty</math> называется метрикой Титса; она принимает значения в интервале <math>[0,\infty]</math>.

Замечания

• Метрика Тица совпадает угловой метрикой на парах точек с расстоянием меньше <math>\pi</math>
• Метрика не зависит от выбора точки <math>p</math>.
• Абсолют <math>\partial_\infty X</math> можно также определить как фактор пространства всех лучей в <math>X</math> по параллельности, то есть отношению эквивалентности на лучах определяемое как <math>\alpha\parallel\beta</math> если расстояния <math>|\alpha(t)-\beta(t)|_X</math> ограничены при всех значениях <math>t</math>.

Примеры

• Для евклидова пространства, аболют с метрикой Титса изометричен единичной сфере.
• Для пространства Лобачевского метрика Титса дискретна, расстояния между любыми различными точками равно <math>\infty</math>.

Свойства

• Абсолют <math>\partial_\infty X</math> с метрикой Титса является Шаблон:Iw.
• Абсолют произваедения двух пространств Адамара <math>\partial_\infty (X\times Y)</math> с метрикой Титса изометричен сферическому джойну соответствующих абсолютов <math>(\partial_\infty X)\star(\partial_\infty Y)</math> с метриками Титса.