Русская Википедия:Метрика Хаусдорфа
Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, она превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.
По-видимому, первое упоминание этой метрики содержится в книге Феликса Хаусдорфа «Теория множеств», первое издание 1914 года. Двумя годами позже, та же метрика описывается в книге Вильгельма Бляшке «Круг и шар», возможно независимо, так как не содержит ссылки на книгу Хаусдорфа.
Определение
Пусть <math>X</math> и <math>Y</math> суть два непустых компактных подмножества метрического пространства <math>M</math>. Тогда расстояние по Хаусдорфу, <math>d_H(X,\;Y)</math>, между <math>X</math> и <math>Y</math> есть минимальное число <math>r</math> такое, что замкнутая <math>r</math>-окрестность <math>X</math> содержит <math>Y</math> и также замкнутая <math>r</math>-окрестность <math>Y</math> содержит <math>X</math>.
Замечания
- Другими словами, если <math>|xy|</math> обозначает расстояние между точками <math>x</math> и <math>y</math> в <math>M</math> то
- <math>d_H(X,\;Y)=\max\left\{\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}|xy|,\;\sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}|xy|\right\}.</math>
- Эквивалентное определение:
- <math>d_H(X,\;Y)=\sup_{m\in M}\left\{\,|\mathrm{dist}_X(m)-\mathrm{dist}_Y(m)|\,\right\},</math>
- где <math>\mathrm{dist}_X\colon M\to\R</math> обозначает функцию расстояния до множества <math>X</math>.
Свойства
Пусть <math>F(M)</math> обозначает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства <math>M</math> с метрикой Хаусдорфа:
- Топология пространства <math>F(M)</math> полностью определяется топологией <math>M</math>.
- (Теорема выбора Бляшке) <math>F(M)</math> компактно тогда и только тогда, когда компактно <math>M</math>.
- <math>F(M)</math> полно тогда и только тогда, когда <math>M</math> полное.
Вариации и обобщения
- Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех замкнутых подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
- Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства. В этом случае она является только псевдометрикой и не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
- В евклидовой геометрии, часто применяется метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Пусть <math>X</math> и <math>Y</math> два компактных подмножества евклидова пространства, тогда <math>D_H(X,\;Y)</math> определяется как минимум <math>d_H\bigl(I(X),\;Y\bigr)</math> по всем движениям евклидова пространства <math>I</math>. Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
- Метрика Громова — Хаусдорфа аналогична метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.
Литература
- Шаблон:Книга
- Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» Шаблон:Wayback. — 2001. — Выпуск 9.
- Хаусдорф «Теория множеств»
