Русская Википедия:Метрический дифференциал

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Метрический дифференциал — обобщение понятия производной на (липшицевы) отображения из евклидова пространства в произвольное метрическое пространство. Впервые рассмотрен Берндом Киркхаймом.

Метрический дифференциал отображения <math> f\colon \R^n\to X </math> в точке <math> x\in \R^n </math> является нормой на <math>\R^n</math> и обычно обозначается <math> MD_xf</math>.

Определение

Метрический дифференциал отображения <math> f\colon \R^n\to X </math> в точке <math> x\in \R^n </math> определяется как норма <math> MD_xf</math> на <math>\R^n</math> такая, что

<math> |f(x+v)-f(x+w))|_X=MD_xf(v-w)+o(|v|-|w|),</math>

где <math> |a-b|_X </math> обозначает расстояние между точками <math>a</math> и <math>b</math> по норме <math>X</math>.

Свойства

• Для метрического дифференциала выполняется аналог теоремы Радемахера — если <math> f\colon \R^n\to X </math> липшицевское, то метрический дифференциал определён почти в каждой точке области определения.
  • Прямое обобщение теоремы Радемахера невозможно, поскольку метрическое пространство не обладает линейной структурой, требуемой для дифференциала. Даже в случае банахова пространства <math>X=L^1([0,1])</math> заключение самой теоремы неверно — например, отображение <math>f\colon [0,1]\to X</math>, определённое как индикатор <math>f(x)=\chi_{[0,x]}</math>, не имеет производную ни в одной точке, несмотря на то, что отображение липшицево и даже сохраняет расстояния.

Ссылки

• Шаблон:Статья
• А. И. Тюленев Введение в геометрическую теорию меры Лекция 7. Метрический дифференциал. Теорема Киркхайма.