Русская Википедия:Метрический тензор

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Не путать Шаблон:Значения Метри́ческий те́нзор, или ме́трика, — симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаётся скалярное произведение векторов в касательном пространстве. Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к этой точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки.

Метрический тензор позволяет определить длины кривых, углы между кривыми, объём и другие понятия свойственные евклидову пространству. В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой.

В общей теории относительности метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля (гравитационного) на четырёхмерном многообразии физического пространства-времени. Широко используется и в других построениях теоретической физики, в частности, в биметрических теориях гравитации на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики.

Далее в формулах этой статьи с повторяющимися индексами везде подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна, то есть по каждому повторяющемуся индексу.

Способы задания

Координатное представление

Метрический тензор в локальных координатах <math>x^1,x^2,\dots,x^n</math>, обычно задаётся как ковариантное тензорное поле <math>g_{ij}\ </math>. Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей <math>\partial_i=\frac{\partial}{\partial x^i}</math>:

<math>\left\langle\partial_i,\partial_j\right\rangle=g_{ij}.</math>

А для любых векторных полей скалярное произведение вычисляется по формуле

<math>\left\langle v,w\right\rangle=g_{ij}v^iw^j</math>,

где <math>v=v^i\partial_i\ , w=w^i\partial_i</math> — представление векторных полей в локальных координатах.

Замечания

Иногда метрический тензор задаётся двойственным способом, с помощью контравариантного тензора <math>g^{ij}</math>.

В случае невырожденных метрик

<math>g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k,</math>

где <math>\delta^i_k</math> — символ Кронекера. В этом случае оба способа эквивалентны, и оба представления метрики бывают полезны.

Для вырожденных метрик иногда удобнее пользоваться именно контравариантной метрикой. Например, субриманова метрика может быть определена через тензор <math>g^{ij}</math>, но тензор <math>g_{ij}</math> для неё не определён.

Представление в поле реперов

Иногда удобно задавать метрический тензор через выбранное (не обязательно координатное, как это описано выше) поле реперов, то есть выбором реперного поля <math>\{e_i(p)\}</math> и матрицы <math>g_{ik}(p) = \langle e_i(p), e_k(p)\rangle</math>.

Например, риманов метрический тензор может быть задан ортонормированным полем реперов[1].

Индуцированная метрика

Метрика, которая индуцируется гладким вложением <math>r</math> многообразия <math>M</math> в евклидово пространство <math>E</math>, может быть посчитана по формуле:

<math>g = J_r^T J_r,</math>

где <math>J_r</math> означает матрицу Якоби вложения <math>r</math> и <math>J^T_r</math> — транспонированная к ней. Иначе говоря, скалярные произведения базисных координатных векторов касательного пространства <math>\frac{\partial}{\partial x_i}</math>, которые в этом случае можно отождествить с <math>\frac{\partial r}{\partial x_i}</math>, определяются как

<math>g_{ij}=g\left(\frac\partial{\partial x_i},\frac\partial{\partial x_j}\right)=

\left\langle\frac{\partial r}{\partial x_i},\frac{\partial r}{\partial x_j}\right\rangle,</math> где <math>\langle*,*\rangle</math> обозначает скалярное произведение в <math>E</math>.

Более обобщенно

Пусть <math>(N,h)</math> многообразие с метрикой и <math>r:M\to N</math> гладкое вложение. Тогда метрика <math>g</math> на <math>M</math>, определённая равенством

<math>g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y))</math>

называется индуцированной метрикой. Здесь <math>dr</math> обозначает дифференциал отображения <math>r</math>.

Типы метрических тензоров

Совокупность метрических тензоров <math>g</math> подразделяется на два класса:

  • невырожденные или псевдоримановы метрики, когда <math>\ \det(g_{ij}) \neq 0</math> во всех точках многообразия. Среди невырожденных метрических тензоров, в свою очередь, различаются:
    • Риманов метрический тензор (или риманова метрика), для которого квадратичная форма является положительно определенной. Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым, они имеют естественную структуру метрического пространства.
    • Собственно псевдориманов метрический тензор (или индефинитная метрика), когда форма не является знакоопределённой. Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется (собственно) псевдоримановым.
  • Вырожденные метрики, когда <math>\ \det(g_{ij}) = 0</math> либо <math>\ \det(g^{ij}) = 0</math> в некоторых точках.

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания в математике понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрическом тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре. В физике под метрическим тензором обычно подразумевают лоренцеву метрику пространства-времени.

Иногда под псевдоримановым тензором и псевдоримановым многообразием понимают то, что выше определено как собственно псевдоримановы метрика и многообразие, а для первых сохраняется только термин «невырожденная метрика» и соответственно «многообразие с невырожденной метрикой».

Связанные определения

  • Вектор нулевой длины в пространстве с псевдоримановой метрикой называется изотропным (также нулевым или светоподобным) и задает определенное изотропное направление на многообразии; например, свет в пространственно-временном континууме путешествует вдоль изотропных направлений.
  • Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым многообразием.
  • Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется псевдоримановым многообразием.
  • Метрики на многообразии называются геодезически эквивалентными, если их геодезические (рассматриваемые как непараметризованные кривые) совпадают.

Свойства

  • Риманов метрический тензор может быть введён на любом паракомпактном гладком многообразии.
  • Риманов метрический тензор индуцирует на многообразии естественную структуру метрического пространства
  • Индефинитная метрика не порождает метрического пространства. Однако на её основе может быть, по крайней мере в некоторых случаях, специальным образом построена топология (см. Топология Александрова), вообще говоря, не совпадающая с естественной топологией многообразия.

Метрика и объём

Определитель матрицы метрического тензора <math>|\det \{g_{ij}\}|</math> дает квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базисные векторы. (В ортонормированных базисах это единица).

Поэтому величина <math>\sqrt{|\det \{g_{ij}\}|}</math> играет важную роль при вычислении объемов, а также при интегрировании по объему. В частности, <math>\sqrt{|\det \{g_{ij}\}|}</math> входит в общее выражение тензора Леви-Чивиты, используемого для вычисления смешанного произведения, векторного произведения и их многомерных аналогов.

Интегрирование же по объему включает этот множитель, например, при необходимости проинтегрировать в координатах какой-то скаляр (чтобы результат был инвариантным):

<math>S = \int s(x)\,d\Omega = \int s(x) \sqrt{|\det \{g_{ij}\}|}\,dx^1\,dx^2\,\ldots\,dx^n,</math>

где <math>d\Omega</math> — это элемент <math>n</math>-мерного объема, а <math>dx^i</math> — дифференциалы координат.

  • Для подмногообразий объём (площадь) определяется как объём (площадь) относительно индуцированной метрики.

Примеры

  • Метрический тензор на евклидовой плоскости:
    • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)
      <math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\ \ g_{ij}=\delta_{ij}</math>
    • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
    • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
    • В полярных координатах: <math>(r,\theta)</math>
      <math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix} \ </math>
  • Метрический тензор на сфере. Сфера (двумерная) радиуса <math>R</math>, вложенная в трехмерное пространство, имеет естественную метрику, индуцированную евклидовой метрикой объемлющего пространства. В стандартных сферических координатах <math>(\theta,\varphi)</math> метрика принимает вид:
    <math>g = \begin{bmatrix} R^2 & 0 \\ 0 & R^2 \sin^2 \theta\end{bmatrix}.</math>
  • Метрический тензор для трёхмерного евклидова пространства:
    • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)
      <math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix},\ \ g_{ij}=\delta_{ij}</math>
    • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
    • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
    • В сферических координатах: <math>(r,\theta,\phi)</math>:
      <math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta\end{bmatrix}.</math>
  • Метрика Лоренца (Метрика Минковского).
  • Метрика Шварцшильда

Изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами

Метрический тензор устанавливает изоморфизм между касательным пространством и кокасательным пространством: пусть <math>v \in T_p M</math> — вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора <math>g</math> на <math>M</math>, мы получаем, что <math>g(v,\cdot)</math>, то есть отображение, которое переводит другой вектор <math>w \in T_p M</math> в число <math>g(v,w)</math>, является элементом дуального пространства линейных функционалов (1-форм) <math>T_p^*M</math>. Невырожденность метрического тензора (если или где она есть) превращает это отображение в биекцию, а тот факт, что <math>g</math> сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат.

Для тензорных полей это позволяет «поднимать и опускать индексы» у любого тензорного поля (жаргонное название — «жонглирование индексами»). В компонентах операция поднятия-опускания индекса, выглядит так:

<math>\ g_{ij}v^j = v_i </math> — опускание индекса для вектора,
<math>\ g^{ij}v_j = v^i </math> — поднятие индекса для вектора,
<math>\ g^{ij}g_{mn}T_{j\ \ \ pq}^{\ nrs} = T_{\ m\ \ pq}^{i\ \ rs} </math> — пример одновременного поднятия индекса <math>j</math> и опускания индекса <math>n</math> для тензора большой валентности.

(К скалярам эта операция, естественно, не применяется).

Для тензороподобных объектов (не являющихся тензорами), как например символы Кристоффеля, преобразование контравариантных компонент в ковариантные и обратно определяется, как правило, так же, как и для тензорных. При желании жонглирование можно применить и к матрицам Якоби, только в этом случае нужно проследить за тем, что метрика для поднятия-опускания первого индекса будет, конечно, вообще говоря, отличаться от метрики для такой же операции со вторым.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ См., например,
    • Картан Э. Ж. Риманова геометрия в ортогональном репере. — М.: изд-во МГУ, [1926-1927]1960
    • Картан Э. Ж. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия изложенная методом подвижного репера. — М.: изд-во МГУ, [1930]1963
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Метрический_тензор&oldid=10373378