Русская Википедия:Метрическое дерево

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Метрическое дерево (или <math>\mathbb R</math>-дерево) — определённый тип метрических пространств. Являются простейшими примерами гиперболических пространств в смысле Громова; их можно определить как 0-гиперболические пространства в смысле Громова, то есть все их треугольники являются ноль-тонкими.

Они возникают естественным образом в геометрической теории групп и теории вероятностей.

Определение

Геодезическое пространство <math>X</math> является метрическим деревом, если это пространство, где каждый треугольник является треногой; иначе говоря, если для каждого треугольника <math>[xyz]</math> найдется точка <math>p</math>, лежащая на всех трёх геодезических <math>[xy], [yz], [zx]</math>.

Свойства

• Геодезическое пространство <math>X</math> является метрическим деревом тогда и только тогда, когда для любых четырёх точек <math>p,q,x,y\in X</math> выполняется следующее неравенство:

  <math>|p-q|_X+|x-y|_X\leqslant \max\{\,|p-x|_X+|q-y|_X , |p-y|_X+|q-x|_X\,\},</math>

где <math>|p-q|_X</math> обозначает расстояние между точками <math>p</math> и <math>q</math> в метрическом пространстве <math>X</math>.

• Если <math>X_n</math> — последовательность <math>\delta_n</math>-гиперболических пространств, и <math>\delta_n\to0</math> при <math>n\to \infty</math>, то ультрапредел <math>X_n</math> является метрическим деревом.
  • В частности, конус на бесконечности <math>\delta</math>-гиперболического пространства является метрическим деревом.

Примеры

• Если <math>X</math> — это граф с комбинаторной метрикой, тогда это метрическое дерево, тогда и только тогда, когда граф <math>X</math> — дерево (то есть не имеет циклов).
• Вещественная прямая, к каждой точке которой приклеено по вещественной прямой.