Русская Википедия:Механика контактного взаимодействия
Механика контактного взаимодействия занимается расчётом упругих, вязкоупругих и пластичных тел при статическом или динамическом контакте. Механика контактного взаимодействия является основополагающей инженерной дисциплиной, обязательной при проектировании надёжного и энергосберегающего оборудования. Она будет полезна при решении многих контактных задач, например, колесо-рельс, при расчёте муфт, тормозов, шин, подшипников скольжения и качения, двигателей внутреннего сгорания, шарниров, уплотнений; при штамповке, металлообработке, ультразвуковой сварке, электрических контактах и др. Она охватывает широкий спектр задач, начиная от расчётов прочности элементов сопряжения трибосистемы с учётом смазывающей среды и строения материала, до применения в микро- и наносистемах.
История
Классическая механика контактных взаимодействий связана, прежде всего, с именем Генриха Герца. В 1882 году Герц решил задачу о контакте двух упругих тел с искривлёнными поверхностями. Этот классический результат и сегодня лежит в основе механики контактного взаимодействия. Лишь столетие спустя Джонсон, Кендал и Робертс нашли аналогичное решение для адгезионного контакта (JKR — теория).
Дальнейший прогресс механики контактного взаимодействия в середине 20-го столетия связан с именами Боудена и Тейбора. Они первые указали на важность учёта шероховатости поверхности контактируемых тел. Шероховатость приводит к тому, что действительная площадь контакта между трущимися телами намного меньше кажущейся площади контакта. Эти представления существенно изменили направление многих трибологических исследований. Работы Боудена и Тейбора вызвали появление ряда теорий механики контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.
Пионерскими работами в этой области являются работы Архарда (1957), который пришёл к заключению, что при контакте упругих шероховатых поверхностей площадь контакта примерно пропорциональна нормальной силе. Дальнейший важный вклад в теорию контакта шероховатых поверхностей внесли Гринвуд и Виллиамсон (1966) и Перссон (2002). Главным результатом этих работ является доказательство того, что действительная площадь контакта шероховатых поверхностей в грубом приближении пропорциональна нормальной силе, в то время как характеристики отдельного микроконтакта (давление, размер микроконтакта) слабо зависят от нагрузки.
Классические задачи механики контактного взаимодействия
Контакт между шаром и упругим полупространством
Твёрдый шар радиуса <math>R</math> вдавливается в упругое полупространство на глубину <math>d</math> (глубина проникновения), образуя область контакта радиуса <math>a=\sqrt{Rd}</math>.
Необходимая для этого сила равна
<math>F=\frac{4}{3}E^*R^{1/2}d^{3/2}</math>,
причём
<math>\frac{1}{E^*}=\frac{1-\nu^2_1}{E_1}+\frac{1-\nu^2_2}{E_2}</math>.
<math>E_1</math> и <math>E_2</math> здесь модули упругости, а <math>\nu_1</math> и <math>\nu_2</math> — коэффициенты Пуассона обоих тел.
При контакте двух шаров с радиусами <math>R_1</math> и <math>R_2</math> эти уравнения справедливы соответственно для радиуса <math>R</math>
<math>\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}</math>
Распределение давления в площади контакта рассчитывается как
<math>p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{1/2}</math>
с
<math>p_0=\frac{2}{\pi}E^*\left(\frac{d}{R}\right)^{1/2}</math>.
Максимальное касательное напряжение достигается под поверхностью, для <math>\nu = 0,33</math> при <math>z\approx 0,49a</math> .
Контакт между двумя скрещивающимися цилиндрами с одинаковыми радиусами <math>R</math>
Контакт между двумя скрещенными цилиндрами с одинаковыми радиусами эквивалентен контакту между шаром радиусом <math>R</math> и плоскостью (см.выше).
Контакт между твёрдым цилиндрическим индентором и упругим полупространством
Если твёрдый цилиндр радиусом a вдавливается в упругое полупространство, тo давление распределяется следующим образом
<math>p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{-1/2}</math>,
причём
<math>p_0=\frac{1}{\pi}E^*\frac{d}{a}</math>.
Связь между глубиной проникновения и нормальной силой определяется
<math>F=2aE^*d\frac{}{}</math>.
Контакт между твёрдым коническим индентором и упругим полупространством
При индентировании упругого полупространства твёрдым конусообразным индентером глубина проникновения и радиус контакта связаны следующим соотношением:
<math>d=\frac{\pi}{2}a\tan\theta</math>.
<math>\theta</math> есть угол между горизонталью и боковой плоскостью конуса. Распределение давления определяется формулой
<math>p(r)=-\frac{Ed}{\pi a\left(1-\nu^2\right)}ln\left(\frac{a}{r}-\sqrt{\left(\frac{a}{r}\right)^2-1}\right)</math> .
Напряжение в вершине конуса (в центре области контакта) изменяется по логарифмическому закону. Суммарная сила рассчитывается как
<math>F_N=\frac{2}{\pi}E\frac{d^2}{\tan \theta}</math>.
Контакт между двумя цилиндрами с параллельными осями
В случае контакта между двумя упругими цилиндрами с параллельными осями сила прямо пропорциональна глубине проникновения:
<math>F=\frac{\pi}{4}E^*Ld</math>.
Радиус кривизны в этом соотношении вообще не присутствует. Полуширина контакта определяется следующим отношением
<math>a=\sqrt{Rd}</math> ,
с
<math>\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}</math>,
как и в случае контакта между двумя шарами. Максимальное давление равно
<math>p_0=\left(\frac{E^*F}{\pi LR}\right)^{1/2}</math>.
Контакт между шероховатыми поверхностями
Когда два тела с шероховатыми поверхностями взаимодействуют друг с другом, реальная площадь контакта <math>A</math> намного меньше, чем видимая площадь <math>A_0</math>. При контакте между плоскостью со случайно распределённой шероховатостью и упругим полупространством реальная площадь контакта пропорциональна нормальной силе <math>F</math> и определяется следующим уравнением:
<math>A=\frac{\kappa}{E^*h'}F</math>
При этом <math>h'</math> — среднеквадратичное значение неровности плоскости и <math>\kappa \approx2</math>. Среднее давление в реальной площади контакта
<math>\sigma =\frac{F}{A}\approx\frac{1}{2}E^*h'</math>
рассчитывается в хорошем приближении как половина модуля упругости <math>E^*</math>, умноженная на среднеквадратичное значение неровности профиля поверхности <math>h'</math>. Если это давление больше твёрдости <math>\sigma _0</math> материала и, таким образом
<math>\Psi = \frac{E^*h'}{\sigma _0}>2</math>,
то микронеровности находятся полностью в пластичном состоянии. Для <math>\Psi <\frac{2}{3}</math> поверхность при контакте деформируется только упруго. Величина <math>\Psi</math> была введена Гринвудом и Виллиамсоном и носит название индекса пластичности. Факт деформирования тела, упругого или пластического, не зависит от приложенной нормальной силы.
Адгезивный контакт
Феномен адгезии проще всего наблюдать в контакте твердого тела с очень мягким упругим телом, например, с желе. При прикосновении тел в результате действия сил Ван дер Ваальса возникает адгезионная шейка. Для того чтобы тела опять разорвать, необходимо приложить некоторую минимальную силу, именуемую силой адгезии. Аналогичные явления имеют место в контакте двух твердых тел, разделенных очень мягким слоем, как например, в стикере или в пластыре. Адгезия может как представлять технологический интерес, например, в клеевом соединении, так и являться мешающим фактором, например, препятствующим быстрому открытию эластомерных клапанов.
Сила адгезии между параболическим твердым телом и упругим полупростанством впервые была найдена в 1971 г. Джонсоном, Кендаллом и Робертсом[1]. Она равна
<math>F_A=(3/2)\pi\gamma R</math>,
где <math>\gamma</math> есть энергия отрыва на единицу площади, а <math>R</math> радиус кривизны тела.
Сила адгезии плоского цилиндрического штампа радуса <math>a</math> была найдена также в 1971 году Кендаллом[2]. Она равна
<math>F_A=\sqrt{8\pi a^3 E^* \gamma}</math>,
Более сложные формы начинают отрываться "с краев" формы, после чего фронт отрыва растпростаняется к центру до достижения некоторого критического состояния[3]. Процесс отрыва адгезивного контакта можно наблюдать в исследовании[4].
Метод редукции размерности
Многие задачи механики контактного взаимодействия могут быть легко решены методом редукции размерности. В этом методе исходная трехмерная система замещается на одномерное упругое или вязкоупругое основание (рисунок). Если параметры основания и форма тела выбраны на основе простых правил метода редукции, то макроскопические свойства контакта совпадают точно со свойствами оригинала.[5] [6][7]
Энергия при упругом контакте
К. Л. Джонсон, К. Кендал и А. Д. Робертс (JKR — по первым буквам фамилий) взяли эту теорию за основу при вычислении теоретического сдвига или глубины вдавливания при наличии адгезии в их значимой статье «Поверхностная энергия и контакт упругих твёрдых частиц», изданной в 1971 в трудах Королевского Общества. Теория Герца вытекает из их формулировки, при условии, если адгезия материалов равна нулю.
Подобно этой теории, но на основе других предположений, в 1975 Б. В. Дерягин, В. М. Мюллер и Ю. П. Топоров разработали другую теорию, которая среди исследователей известна как теория DMT, и из которой также вытекает формулировка Герца при условии нулевой адгезии.
Теория DMT в дальнейшем была несколько раз пересмотрена прежде, чем она была принята как ещё одна теория контактного взаимодействия в дополнение к теории JKR.
Обе теории, как DMT так и JKR, являются основой механики контактного взаимодействия, на которых базируются все модели контактного перехода, и которые используются в расчётах наносдвигов и электронной микроскопии. Так исследования Герца в дни его работы лектором, которые он сам с его трезвой самооценкой считал тривиальными, ещё до его великих трудов по электромагнетизму, попали в век нанотехнологий.
Литература
- K. L. Johnson: Contact mechanics. Cambridge University Press, 6. Nachdruck der 1. Auflage, 2001.
- Popov, Valentin L.: Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation, Springer-Verlag, 2009, 328 S., ISBN 978-3-540-88836-9.
- Popov, Valentin L.: Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications, Springer-Verlag, 2010, 362 p., ISBN 978-3-642-10802-0.
- В. Л. Попов: Механика контактного взаимодействия и физика трения, М: Физматлит, 2012, 348 c, ISBN 978-5-9221-1443-1.
- I. N. Sneddon: The Relation between Load and Penetration in the Axisymmetric Boussinesq Problem for a Punch of Arbitrary Profile. Int. J. Eng. Sci., 1965, v. 3, pp. 47—57.
- S. Hyun, M. O. Robbins: Elastic contact between rough surfaces: Effect of roughness at large and small wavelengths. Trobology International, 2007, v.40, pp. 1413—1422.
- V.L. Popov: Method of reduction of dimensionality in contact and friction mechanics: A linkage between micro and macro scales. Friction, 2013, v.1, N. 1, pp. 41—62.
Ссылки
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Popov, V.L., Method of reduction of dimensionality in contact and friction mechanics: A linkage between micro and macro scales, Friction, 2013, v.1, N. 1, pp.41—62.
- ↑ Popov, V.L. and Heß, M., Methode der Dimensionsreduktion in Kontaktmechanik und Reibung, Springer, 2013.
- ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
