Минимальная поверхность — гладкая поверхность с нулевой средней кривизной.
Название объясняется тем, что гладкая поверхность с заданным контуром, минимизирующая площадь, является минимальной.
Асимптотические линии на минимальной поверхности образуют изотермическую сеть.
Вообще говоря, минимальная поверхность с краем может не иметь минимальной площади среди всех поверхностей с данным контуром. Но любая точка минимальной поверхности содержится в диске, минимизирующем площадь при данном контуре.
Более того, если компактная минимальная поверхность является графиком <math>z=f(x,y)</math> гладкой функции, определённой на выпуклой области в <math>(x,y)</math>-плоскости, то она минимизирует площадь среди всех поверхностей с данной границей.[1]
Первые исследования минимальных поверхностей восходят к Лагранжу (1768), который рассмотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Предполагая искомую поверхность, задаваемую в виде <math>z=f(x,y)</math>, Лагранж определил, что эта функция должна удовлетворять уравнению Эйлера — Лагранжа.
Позже Монж (1776) обнаружил, что условие минимальности площади поверхности влечёт, что её средняя кривизна равна нулю.
Поэтому за поверхностями с <math>H=0</math> закрепилось название «минимальные».
В действительности, однако, нужно различать понятия минимальной поверхности и поверхности наименьшей площади, так как условие <math>H=0</math> представляет собой лишь необходимое условие минимальности площади, вытекающее из равенства нулю 1-й вариации площади поверхности среди всех поверхностей с заданной границей.
