Русская Википедия:Минимальность (динамические системы)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В теории динамических систем, динамическая система называется минимальной, если у неё нет нетривиальных (замкнутых) подсистем.

Определения

Динамическая система <math>(X,T)</math> называется минимальной, если для любого замкнутого

<math>A\subset X, \quad T(A)=A</math>,

либо <math>A</math> пусто, либо совпадает со всем <math>X</math>.

Поскольку замыкание любой орбиты является инвариантным множеством, то определение можно эквивалентно переформулировать следующим образом: динамическая система минимальна, если любая её орбита всюду плотна.

Также, инвариантное подмножество <math>Y\subset X,\, Y\neq\emptyset</math> фазового пространства системы <math>(X,T)</math> называется минимальным множеством, если ограничение <math>(Y,T|_Y)</math> системы на него минимально.

Свойства

• Минимальная система либо состоит из одной орбиты, либо не имеет ни неподвижных точек, ни периодических орбит.
• Минимальный диффеоморфизм окружности эргодичен (теорема Катка-Эрмана).

Примеры

• Иррациональный поворот минимален.
• Сдвиг на постоянный вектор на торе <math>\mathbb{T}^n=\R^n/\Z^n</math> минимален тогда и только тогда, когда координаты вектора сдвига и единица линейно независимы над <math>\Q</math>.
• Диффеоморфизм окружности минимален тогда и только тогда, когда он сопряжён иррациональному повороту.
• Существует сохраняющий меру Лебега диффеоморфизм двумерного тора, который минимален, но не эргодичен (пример Фюрстенберга).