Русская Википедия:Минор (линейная алгебра)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Минор в линейной алгебре — определитель некоторой меньшей квадратной матрицы <math>B</math>, вырезанной из заданной матрицы <math>A</math> путём удаления одной или нескольких её строк и столбцов. Порядок матрицы <math>B</math> называется порядком этого минора. Если на диагонали матрицы <math>B</math> расположены только диагональные элементы матрицы <math>A</math>, то минор называется главным.

Дополнительный минор элемента матрицы <math>n</math>-го порядка есть определитель порядка <math>n-1</math>, соответствующий матрице, которая получается из матрицы путём вычёркивания <math>i</math>-й строки и <math>j</math>-го столбца. Например, для матрицы:

<math>M = \begin{pmatrix}

\,\,\,1 & 4 & 7 \\ \,\,\,3 & 0 & 5 \\ -1 & 9 & \!11 \\ \end{pmatrix}</math> дополнительный минор второго порядка <math>\bar M_3^2</math> получается путём вычёркивания второй строки и третьего столбца:

<math> \begin{vmatrix}

\,\,1 & 4 & \Box\, \\ \,\Box & \Box & \Box\, \\ -1 & 9 & \Box\, \\ \end{vmatrix}</math> <math>\longrightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} \,\,\,1 & 4\, \\ -1 & 9\, \\ \end{vmatrix} = 1\cdot 9-4\cdot(-1) = 13</math>

Определитель <math>n\times n</math>-матрицы <math>M = (a_{ij})</math> может быть определён через дополнительные миноры к элементам:

<math>|M|=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\bar M_j^1</math>,

где <math>\bar M_j^1</math> — дополнительный минор к элементу <math>\ a_{1j}</math>.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Литература

• Шаблон:Из