Русская Википедия:Мнимая единица
Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен <math>-1</math>. В математике, физике мнимая единица обозначается латинской буквой <math>i</math> (в электротехнике: <math>j</math>)[1][2].
Введение мнимой единицы позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Одной из причин введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение <math>f(x)=0</math> с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение <math>x^2 + 1 = 0</math> не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — об этом говорит основная теорема алгебры. Существуют и другие области, в которых комплексные числа приносят большую пользу.
Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: при наличии трёх вещественных корней для получения двух из них формула Кардано требовала извлечения квадратных корней из отрицательных чисел.
Вплоть до конца XIX века наряду с символом <math>i</math> использовалось обозначение <math>\sqrt{-1},</math> однако современные источники предписывают во избежание ошибок под знаком радикала помещать только неотрицательные выражения[3][4]. Более того, помимо мнимой единицы, существует ещё одно комплексное число, квадрат которого равен <math>-1,</math> — число <math>-i,</math> в паре с которым мнимая единица составляет следующие свойства:
- числа i и −i являются одновременно противоположными и обратными: последнее верно потому, что произведение этих чисел равно Шаблон:Math;
- i и −i комплексно сопряжены, так что их сумма (ноль) и произведение (единица) вещественны одновременно (свойства сопряжённых чисел).
Термин «мнимая единица» может употребляться не только для комплексных чисел, но и для их обобщенийШаблон:Переход.
Степени мнимой единицы
Степени <math>i</math> повторяются в цикле:
- <math>\ldots</math>
- <math>i^{-3} = i</math>
- <math>i^{-2} = -1</math>
- <math>i^{-1} = -i</math>
- <math>i^0 = 1</math>
- <math>i^1 = i</math>
- <math>i^2 = -1</math>
- <math>i^3 = -i</math>
- <math>i^4 = 1</math>
- <math>\ldots</math>
что может быть записано для любой степени в виде:
- <math>i^{4n} = 1</math>
- <math>i^{4n+1} = i</math>
- <math>i^{4n+2} = -1</math>
- <math>i^{4n+3} = -i</math>
где n — любое целое число.
Отсюда: <math>i^n = i^{n \bmod 4}</math>, где mod 4 — это остаток от деления на 4.
Возведение в комплексную степень является многозначной функцией. Например, таковой является величина <math>i^i</math>, которая представляет бесконечное множество вещественных чисел (<math>i^i \subset \R</math>):
- <math>i^i = e^{-\left(\frac{\pi}2 + 2\pi k\right)},</math> где <math>k\in\Z.</math>
При <math>k = 0</math> получаем число <math>e^{-\frac{\pi}2} = 0{,}20787957635...,</math> соответствующее главному значению аргумента (или главному значению комплексного натурального логарифма) мнимой единицы.
Шаблон:Hider</math> является частным значением <math>i^i</math>, которое соответствует главному значению аргумента (или главному значению комплексного натурального логарифма) мнимой единицы.
Ранее было найдено главное значение аргумента мнимой единицы (т.е. такое, что попадает в промежуток <math>(-\pi, \pi]</math>):
- <math>\varphi = \frac{\pi}{2} \in (-\pi, \pi]</math>
Подставляя его вместо <math>\operatorname{Arg} i</math> в выражение для <math>z</math>, получим искомое частное значение:
- <math>e^{-\varphi} = e^{-\frac{\pi}{2}} = 0{,}20787957635\ldots</math> ∎
}}
Также верно, что <math>(-i)^{(-i)}=i^i</math>.
Факториал
Факториал мнимой единицы Шаблон:Math можно определить как значение гамма-функции от аргумента Шаблон:Math:
- <math>i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i.</math>
Также
- <math>|i!| = \sqrt{\pi \over \sinh(\pi)} \approx 0.521564...,</math>[5]
потому что Шаблон:Math, что по рекуррентному соотношению гамма-функции можно переписать как Шаблон:Math, а затем по формуле дополнения Эйлера — как Шаблон:Math.
Корни из мнимой единицы
В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n значений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.
- <math>u_k=\cos {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1</math>
В частности, <math>\{\sqrt i\} = \left\{\frac{1+i}\sqrt2; ~\frac{-1-i}\sqrt2 \right\}</math> и <math>\{\sqrt[3]i\} = \left\{-i;~\frac{i+\sqrt3}2;~ \frac{i-\sqrt3}2\right\}.</math>
Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:
- <math>u_k=e^{\frac{(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1.</math>
Иные мнимые единицы
В конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения <math>x^2 = -1</math>.
К вопросу об интерпретации и названии
| « |
Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i. | » |
| — Анонимус | ||
Обозначения
Обычное обозначение — <math>i</math>, но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать <math>j</math>, чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: <math>i = i (t)</math>.
В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j.
В языке программирования Wolfram Language мнимая единица записывается как 𝕚.
См.также
Примечания
Ссылки
Шаблон:Числа с собственными именами
- ↑ Шаблон:БРЭ
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ "abs(i!) Шаблон:Wayback", WolframAlpha.
