Русская Википедия:Многомерное время в физике
Специальная теория относительности (СТО) описывает пространство-время в виде псевдориманова многообразия с одним отрицательным собственным значением метрического тензора, которое соответствует «временноподобному» направлению. Метрика с несколькими отрицательными собственными значениями будет соответственно подразумевать наличие нескольких временных направлений, то есть время будет многомерным, но в настоящее время нет консенсуса насчёт связи этих дополнительных «времён» с временем в обычном понимании.
Гипотезы многомерного времени выдвигались в физике двояко: как возможное теоретическое описание реальности или как любопытная возможность, вероятно, не имеющая отношения к известной природе. Например, Ицхак Барс опубликовал работу «Физика двухмерного времени»[1], основанную на симметрии SO(10, 2) расширенной структуры суперсимметрии М-теории, являющийся самой современной и систематизированной разновидностью данной теории (см. также Шаблон:Не переведено 3).
Если специальная теория относительности может быть обобщена на случай k-мерного времени <math>(t_1, t_2, ... , t_k)</math> и n-мерного пространства <math>(x_{k+1}, x_{k+2}, ... , x_{k+n})</math>, тогда (k + n)-размерный интервал, будучи инвариантным, даёт выражение <math>(ds_{k,n})^2 = (cdt_1)^2 + \ldots + (cdt_k)^2 -(dx_{k+1})^2 - \ldots - (dx_{k+n})^2</math>. Сигнатура метрики тогда будет выглядеть следующим образом:
- <math>(\underbrace{+, \cdots, +}_k, \underbrace{-, \cdots, -}_n)</math> — временно-подобное Шаблон:Не переведено 3,
или
- <math>(\underbrace{-, \cdots, -}_k, \underbrace{+, \cdots, +}_n)</math> — пространственно-подобное Шаблон:Не переведено 3.
Преобразования между двумя инерциальными системами отсчёта K и K′, которые находятся в стандартной конфигурации (например, преобразование без перевода и/или вращения оси пространства в гиперплоскости пространства и/или поворотов оси времени в гиперплоскости времени) выглядят следующим образом[2]:
- <math>t'_\sigma = \sum_{\theta=1}^k \left(\delta_{\sigma\theta} t_\theta + \frac{c^2}{v_\sigma v_\theta} \beta^2(\zeta-1) t_\theta\right) - \frac{1}{v_\sigma} \beta^2 \zeta x_{k+1},</math>
- <math>x'_{k+1} = -c^2 \beta^2 \zeta \sum_{\theta=1}^k \frac{t_\theta}{v_\theta} + \zeta x_{k+1},</math>
- <math>x'_\lambda = x_\lambda,</math>
где <math>\mathbf{v}_1 = (v_1, \underbrace{0, \cdots, 0}_{n-1}),</math> <math>\mathbf{v}_2 = (v_2, \underbrace{0, \cdots, 0}_{n-1}),</math> <math>\mathbf{v}_k = (v_k, \underbrace{0, \cdots, 0}_{n-1})</math> являются векторами скоростей K′ против K, определяют соответственно в зависимости от размеров времени t1, t2, …, tk; <math>\beta = \frac{1}{\sqrt{\sum_{\mu=1}^k \frac{c^2}{v^2_\mu}}};</math> <math>\zeta = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}};</math> σ = 1, 2, …, k; λ = k + 2, k + 3, …, k + n. Здесь <math>\delta_{\sigma\theta}</math> является символом Кронекера. Эти преобразования являются обобщением преобразования Лоренца в фиксированном пространственном направлении (xk+1) в области многомерного времени и многомерного пространства.
Обозначим: <math>\frac{dx_\eta}{dt_\sigma} = V_{\sigma\eta}</math>, и <math>\frac{dx'_\eta}{dt'_\sigma} = V'_{\sigma\eta},</math> где σ = 1, 2, …, k; η = k + 1, k + 2, …, k + n. Сложение скоростей затем даст
- <math>V'_{\sigma(k+1)} =
\frac{V_{\sigma(k+1)} \zeta \left(1 - \beta^2 \sum_{\theta=1}^k \frac{c^2}{v_\theta V_{\theta(k+1)}}\right)}
{1 + \frac{V_{\sigma(k+1)}}{v_\sigma} \beta^2\left((\zeta - 1) \sum_{\theta=1}^k \frac{c^2}{v_\theta V_{\theta(k+1)}} - \zeta\right)},</math>
- <math>V'_{\sigma \lambda} =
\frac{V_{\sigma \lambda}}
{1 + \frac{V_{\sigma(k+1)}}{v_\sigma} \beta^2 \left((\zeta - 1) \sum_{\theta=1}^k \frac{c^2}{v_\theta V_{\theta(k+1)}} - \zeta\right)},</math>
где σ = 1, 2, …, k; λ = k + 2, k + 3, …, k + n.
Для простоты рассмотрим только одну пространственную размерность x3 и две временные размерности x1 и x2 (то есть, x1 = ct1, x2 = ct2, x3 = x). Предположим, что в точке O, имеющей координаты x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, имело место событие E. Предположим далее, что с момента события E прошёл интервал времени <math>\Delta T = \sqrt{(\Delta t_1)^2 + (\Delta t_2)^2} \geqslant 0</math>. Причинно-следственная область, связанная с событием E, включает в себя боковую поверхность прямого кругового конуса {(x1)2 + (x2)2 − (x3)2 = 0}, боковую поверхность прямого кругового цилиндра {(x1)2 + (x2)2 = c2ΔT2} и внутреннюю область, ограниченную этими поверхностями, то есть причинно-следственная область включает в себя все точки (x1, x2, x3), для которых условия
- <math>(x_1)^2+ (x_2)^2 - (x_3)^2 = 0 \text{ и }|x_3| \leqslant c\Delta T </math> или
- <math>(x_1)^2+ (x_2)^2 = c^2 {\Delta T}^2 \text{ и }|x_3| \leqslant c\Delta T </math> или
- <math>(x_1)^2+ (x_2)^2 - (x_3)^2 > 0 \text{ и }(x_1)^2+ (x_2)^2 < c^2 {\Delta T}^2</math>
являются выполненными[2].
Тем не менее, сигнатуры (1, 3) и (3, 1) физически эквивалентны, так как положительная длина вектора в пространстве Минковского для временноподобных интервалов — это условность, зависящая от договорённости о знаке метрического тензора[3]. Так, некоторые физики как правило используют метрику с сигнатурой (+−−−), что приводит к положительной «длине» Минковского для времениподобных интервалов и энергии, в то время как пространственное расстояние будет иметь отрицательную «длину» Минковского. Релятивисты, однако, как правило придерживаются противоположной конвенции (−+++), что даёт для пространственного расстояния положительную «длину» МинковскогоШаблон:Нет АИ.
Все вселенные многомерного времени можно рассматривать в качестве фридмонов[4].
Связь с антропным принципом
В качестве доказательства трёхмерности пространства (если не считать возможные измерения неподтвержденной теории струн) могут приводиться физические последствия предположения о том, что количество измерений отличается от трёх пространственных плюс одного временного. Этот аргумент выполнен в духе антропного принципа, и возможно, это первый случай его использования, пусть и до того, как концепция данного принципа была полностью сформулирована.
Неявное представление о том, что размерность существующей Вселенной является особенной, впервые высказал Лейбниц, который в «Рассуждении о метафизике» предположил, что «мир соответствует такой модели, которая является самой простой в гипотезе и самой богатой в явлениях»[5].
Макс Тегмарк рассматривает гипотезы миров с размерностью времени T > 1 с точки зрения антропного принципа и приходит к выводу о невозможности существования разумной жизни в такой модели мира. В общем случае неизвестно функционирование физических законов в мире с многомерным временем. Если Т отлично от 1, поведение физических систем не может быть выведено из знания соответствующих дифференциальных уравнений в частных производных — задача Коши для волнового уравнения становится плохо определённой. Иными словами, в мире с многомерным временем невозможно точно рассчитать поведение физических систем в будущем, а любой расчёт физических законов будет иметь несколько решений — будущее такой вселенной невозможно спрогнозировать. Разумная жизнь, способная использовать технологии, в подобной вселенной не могла бы возникнуть. Единственный вариант однозначного решения для физических уравнений в мире с многомерным временем — это движение наблюдателя со скоростью света, когда время для него вообще не существует[6].
Более того, Тегмарк утверждает, что если T > 1, протоны и электроны были бы неустойчивы и могли бы распадаться на более массивные частицы. (Это не проблема, если частицы имеют достаточно низкую температуру.) При T > 1 субатомные частицы, распадающиеся в течение определённого периода, вели бы себя непредсказуемо, геодезическая линия не обязательно была бы максимальной для времени. Случай мира с размерностью пространства N = 1 и времени T = 3 обладает интересным свойством: скорость света является нижней границей скорости материальных тел, а вся материя состоит из тахионов[6].
Только мир с трёхмерным пространством даёт достаточную стабильность и сложность, так как в мире с числом измерений пространства меньше 3 маловероятна гравитация и возникают топологические проблемы, а в мире с числом измерений пространства больше 3 невозможно существование стабильных орбит (для гравитационного и электромагнитного полей либо иных дальнодействующих взаимодействий). Поэтому миры с мерностью времени отличной от 1 имеют недостаток прогнозируемости, а миры с развёрнутой мерностью пространства больше 3 — недостаток стабильности. Таким образом, соблюдение антропного принципа исключает любые варианты мира помимо N = 3 и Т = 1 (или N = 1 и Т = 3 в других концепциях)[6].
Связь с длиной Планка и скоростью света
Движение пробной частицы может быть описано координатой:
<math> x^{\mu} = \begin{pmatrix} ct \\ r\cdot f\left(\frac{\gamma\tau}{\Lambda}\right) \\ \mathbf{x} \end{pmatrix} </math>
которая является каноническим (1,3) вектором пространства-времени <math> (ct, \mathbf{x})^{T} </math> с <math> x \in \R^3 </math> расширенную на дополнительную временноподобную координату <math> r \cdot f (\gamma\tau /\Lambda)</math>. <math> \tau </math> тогда второй параметр времени, <math> r\in \R</math> описывает размер второго временного измерения и <math>\gamma</math> является характеристической скоростью, таким образом, эквивалент <math> c </math>. <math> f </math> описывает форму второго временного измерения и <math> \Lambda\in \R</math> параметр нормализации такой, что <math> \gamma\tau/\Lambda </math> безразмерно. Разбивая <math> x^{\mu}=x^{\mu}_t + x^{\mu}_{\tau} </math> с
<math> x^{\mu}_t = \begin {pmatrix} ct \\ 0 \\ \eta\mathbf{x} \end{pmatrix};\ x^{\mu}_{\tau} = \begin {pmatrix} 0 \\ r\cdot f\left(\frac{\gamma\tau}{\Lambda}\right) \\ (1-\eta)\mathbf{x} \end{pmatrix}, \eta\in(0,1) </math>
и используя метрику <math> (+,+,-,-,-) </math>, тогда Лагранжева механика становится
<math> L(x,\dot{x},x^{\prime},t,\tau)=\frac{r}{\Lambda}\sqrt{\dot{c}^2t^2+c^2-\eta^2\dot{\mathbf{x}}^2+2\dot{c}ct}\sqrt{(\gamma^{\prime 2}\tau^2+\gamma^2+2\gamma \gamma^{\prime}\tau)\left(\left.\frac{df}{dz}\right|_{z=\frac{\gamma\tau}{\Lambda}}\right)^{2}-(1-\eta)^2\mathbf{x}^{\prime 2}}. </math>
Применение уравнения Эйлера — Лагранжа дает
<math> \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}+\frac{d}{d\tau}\frac{\partial L}{\partial x^{\prime\ }_i}-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0 </math>
Как следствие этой модели было высказано предположение, что скорость света не была постоянной в ранней Вселенной[7].
Примечания
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ 2,0 2,1 Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Геометрия черных и белых дыр (Часть 1) Шаблон:Wayback.
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ 6,0 6,1 6,2 Шаблон:Статья
- ↑ A. Albrecht, J. Magueijo. A Time Varying Speed of Light as a Solution to Cosmological Puzzles. Phys. Rev. D vol. 59 043516 (1999)
