Русская Википедия:Многообразие
Шаблон:Проще Шаблон:Другие значения Многообра́зие (топологическое многообразие) — пространство, локально сходное с евклидовым. Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Размерность многообразия определяется по размерности евклидова пространства, с которым оно локально сходно.
Более сложным примером может служить поверхность Земли: возможно сделать карту какой-либо области земной поверхности, например, карту полушария, но невозможно составить единую (плоскую и без разрывов) карту всей её поверхности.
Исследования многообразий были начаты во второй половине XIX века, они естественно возникли при изучении дифференциальной геометрии и теории групп Ли. Тем не менее первые точные определения были сделаны только в 30-х годах XX века.
Обычно рассматриваются так называемые гладкие многообразия, то есть те, на которых есть выделенный класс гладких функций — в таких многообразиях можно говорить о касательных векторах и касательных пространствах. Для того чтобы измерять длины кривых и углы, нужна ещё дополнительная структура — риманова метрика.
В классической механике основным многообразием является фазовое пространство. В общей теории относительности четырёхмерное псевдориманово многообразие используется как модель для пространства-времени.
Определения
Шаблон:Нет источников в разделе <math>n</math>-мерное топологическое многообразие без края — это хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой, в котором каждая точка имеет открытую окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству <math>\R^n</math>, то есть <math>n</math>-мерному евклидову пространству.
<math>n</math>-мерное топологическое многообразиеШаблон:Уточнить — это хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой, в котором каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству замкнутого полупространства в <math>\R^n</math> (считаем открытыми также объединения открытых подмножеств с пересечением их границы и граничной гиперплоскости).
- Точки, которые имеют открытую окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству <math>\R^n</math>, называются внутренними, а множество всех таких точек — внутренность многообразия (это всегда непустое множество).
- Дополнение к внутренности называется краем, это — <math>(n-1)</math>-мерное многообразие без края.
Особенности определения
- Условие счётности базы эквивалентно тому, что многообразие вкладывается в евклидово пространство конечной размерности (то, что такое вложение существует, подтверждает теорема Уитни о вложении).
- Иногда вместо условия счётности базы используется более слабое условие паракомпактности пространства[1].
- Введённое здесь понятие края вовсе не равносильно понятию относительной границы в общей топологии.
- Требование хаусдорфовости может показаться излишним; пример пространства, которое локально гомеоморфно евклидовому, но при этом не хаусдорфово, можно построить склеиванием двух копий вещественной прямой по всем точкам, кроме одной.
Гладкие многообразия
Шаблон:Главная Гладкая структура, определённая ниже, обычно возникает в почти всех приложениях и при этом делает многообразие гораздо удобней в работе.
Для топологического многообразия <math>M</math> без границы картой называется гомеоморфизм <math>\varphi</math> из открытого множества <math>U\subset M</math> на открытое подмножество <math>\R^n</math>. Набор карт, покрывающих всё <math>M</math>, называется атласом.
Если две карты <math>\varphi</math> и <math>\psi</math> накрывают одну точку в <math>M</math>, то их композиция <math>\varphi\circ\psi^{-1}</math> задаёт отображение «склейки» из открытого множества <math>\R^n</math> в открытое множество <math>\R^n</math>. Если все отображения склейки из класса <math>C^k</math> (то есть <math>k</math> раз непрерывно дифференцируемых функций), то атлас называется <math>C^k</math> атласом (можно также рассматривать <math>k=\infty</math> или <math>\omega</math>, что соответствует бесконечно дифференцируемым и аналитическим склейкам).
Пример: сфера может быть покрыта <math>C^\infty</math>-атласом из двух карт на дополнениях северного и южного полюсов со стереографическими проекциями по отношению к этим полюсам.
Два <math>C^k</math> атласа задают одну <math>C^k</math>-гладкую структуру, если их объединение является <math>C^k</math>-атласом.
Для таких многообразий можно ввести понятия касательного вектора, касательного и кокасательного пространств и расслоений.
Для заданной <math>C^1</math>-гладкой структуры можно найти <math>C^\infty</math>-гладкую структуру, задаваемую новым <math>C^\infty</math>-атласом, который задаёт ту же <math>C^1</math>-гладкую структуру. Более того, все такие полученные таким образом многообразия являются <math>C^\infty</math>-диффеоморфными. Поэтому часто под гладкой структурой понимают <math>C^1</math>-гладкую структуру.
Не каждое топологическое многообразие допускает гладкую структуру. Примеры таких «шершавых» многообразий появляются уже в размерности четыре. Также существуют примеры топологических многообразий, которые допускают несколько различных гладких структур. Первый такой пример нестандартной гладкой структуры, так называемая сфера Милнора, был построен Милнором на семимерной сфере.
Примеры
- Простейший пример многообразия — это пространства <math>\R^n,\;\forall n \in [0, + \infty) </math>
- Окружность — это многообразие размерности 1. Вообще любой несамопересекающийся контур можно рассматривать как одномерное многообразие. Отметим, что для негладкого контура соответствующее отображение вложения в <math>\R^n</math> не будет отображением гладких многообразий.
- Диск — это многообразие с краем.
- Любая двумерная поверхность без края является примером двумерного многообразия (сфера, тор, крендель, …). По известной топологической классификационной теореме, любое ориентируемое двумерное многообразие имеет вид сферы с несколькими приклеенными ручками.
- Лента Мёбиуса — это пример двумерного неориентируемого многообразия с краем. Пример неориентируемого двумерного многообразия без края — проективная плоскость (многообразие прямых в <math>\R^3</math>). Отметим, что его невозможно вложить в <math>\R^3</math>.
- Все указанные выше примеры многообразий можно наделить единственным образом гладкой структурой. В более высоких размерностях возможны, однако, разные гладкие структуры на одном и том же топологическом многообразии.
- Нетривиальные примеры многообразий любой размерности — проективные пространства <math>\R P^n</math> (многообразие прямых в <math>\R^{n+1}</math>) и грассмановы многообразия <math>\mathrm{Gr}(k,n)</math> (многообразие <math>k</math>-мерных подпространств в <math>\R^n</math>).
Типы многообразий
- Замкнутое многообразие — компактное связное многообразие без края. Примеры: окружность, сфера, тор, бутылка Клейна.
- Открытое многообразие — некомпактное связное многообразие без края. Примеры: Евклидово пространство.
Классификация многообразий
Каждое связное одномерное многообразие без границы гомеоморфно вещественной прямой или окружности.Шаблон:Нет АИ
Гомеоморфный класс замкнутой связной поверхности задаётся её эйлеровой характеристикой и ориентируемостью (если поверхность ориентируема, то это сфера с ручками, если нет, то связная сумма нескольких копий проективной плоскости).
Классификация замкнутых трёхмерных многообразий следует из гипотезы Тёрстона, которая была недавно доказана Перельманом.
Если размерность больше трёх, то классификация невозможна; более того, невозможно построить алгоритм, который определяет, является ли многообразие односвязным. Тем не менее, существует классификация всех односвязных многообразий во всех размерностях ≥ 5.
Можно также классифицировать гладкие многообразия.
- В размерностях 1, 2 и 3 любая пара гомеоморфных многообразий является также диффеоморфной.
- В размерности 4 существуют примеры замкнутых многообразий, которые допускают бесконечное число неэквивалентных гладких структур, а открытые многообразия, как, например, <math>\R^4</math>, допускают континуум различных гладких структур.
- В размерностях 5 и выше любое топологическое многообразие допускает не более чем конечное число неэквивалентных гладких структур.
Дополнительные структуры
Часто гладкие многообразия оснащают дополнительными структурами. Вот список наиболее часто встречаемых дополнительных структур:
Вариации и обобщения
См. также
Примечания
Литература
Шаблон:Вс Шаблон:Топология Шаблон:Размерность
