Русская Википедия:Многообразие Шимуры

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Многообразие Шимуры (иногда многообразие Симуры) — аналог модулярной кривой в более высоких размерностях, который возникает как фактор Шаблон:Не переведено 5 по конгруэнтной подгруппе редуктивной алгебраической группе, определённой над Q. Термин «многообразие Шимуры» относится к высоким размерностям, в случае одномерных многообразий говорят о кривых Шимуры. Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5 находятся среди лучших известных классов многообразий Шимуры.

Специальные случаи многообразий Шимуры ввёл Горо Шимура в ходе обобщения теории Шаблон:Не переведено 5 (модулярных кривых). Шимура показал, что первоначально определённые аналитически, объекты являются арифметическими в том смысле, что они удовлетворяют моделям, Шаблон:Не переведено 5 над числовым полем, полем отражения многообразия Шимуры. В 1970-х годах Пьер Делинь создал аксиоматическую схему для работы Шимуры. Примерно в то же время Роберт Ленглендс заметил, что многообразия Шимуры образуют естественную область примеров, для которых эквивалентность между Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5, постулированная в программе Ленглендса, может быть проверена. Автоморфные формы, реализованные в когомологии многообразия Шимуры, более поддаются изучению, чем общие автоморфные формы. В частности, существует построение, присоединяющее к ним Шаблон:Не переведено 5.

Определение

Исходные данные Шимуры

Пусть S = ResC/R Gm — ограничение Вейля мультипликативной группы из комплексных чисел в вещественные числа. Оно является алгебраической группой, группа R-точек которой S(R) — C*, а группа C-точек — <math>\mathbf{C}^* \times \mathbf{C}^*</math>. Исходные данные Шимуры — это пара (G, X), состоящая из редуктивной алгебраической группы G, определённой над полем Q рациональных чисел, и G(R)-класса сопряжённости X гомоморфизмов h: <math>S \rightarrow G{\mathbf{R}}</math>, удовлетворяющего следующим аксиомам:

  • Для любого h из X в gC могут встретиться только веса (0,0), (1,−1), (−1,1), то есть комплексифицированная алгебра Ли группы G разлагается в прямую сумму
<math>\mathfrak{g}\otimes\mathbb{C}=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}^{+}\oplus\mathfrak{p}^{-},</math>
где для любого z ∈ S h(z) действует тривиально на первый член суммы и посредством <math>z/\bar{z}</math> и <math>\bar{z}/z</math>) на второй и третий члены соответственно.
  • Сопряжённое действие h(i) порождает Шаблон:Не переведено 5 на сопряжённой группе группы GR.
  • Сопряжённая группа для GR не подчиняется фактору H, определённому над Q, так что проекция h на H тривиальна.

Из этих аксиом следует, что X имеет единственную структуру комплексного многообразия (возможно, несвязную), такую, что для любого представления <math>\rho: G_\mathbf {R} \rightarrow GL(V)</math>, семейство <math>(V \rho \cdot h)</math> является голоморфным семейством структур Ходжа. Более того, оно образует вариацию структуры Ходжа и X является конечным объединением (непересекающихся) Шаблон:Не переведено 5.

Многообразие Шимуры

Пусть Aƒ — Шаблон:Не переведено 5 группы Q. Для любой достаточно малой компактной открытой подгруппы K группы G(Aƒ) Шаблон:Не переведено 5

<math>Sh_K(G,X) = G(\mathbb{Q})\backslash X\times G(\mathbb{A}_f)/K </math>

является конечным объединением локально симметрических многообразий формы <math>\Gamma \smallsetminus X^+</math>, где верхний индекс плюс обозначает связную компоненту. Многообразия <math>Sh_K(G,X) </math> являются комплексными алгебраическими многообразиями и они образуют Шаблон:Не переведено 5 над всеми достаточно маленькими компактными открытыми подгруппами K. Эта инверсивная система

<math>(Sh_K(G,X))_K</math>

подчиняется естественному правому действию <math>G(\mathbf A_f)</math>. Она также называется многообразием Шимуры, ассоциированным с исходными данными Шимуры (G, X) и обозначается Sh(G, X).

История

Для специальных типов эрмитово-симметрических областей и конгруэнтных подгрупп Γ алгебраическое многообразие вида <math>\Gamma \smallsetminus X = Sh_K(G,X)</math> и его Шаблон:Не переведено 5 были введены в серии статей Горо Шимуры в течение 1960-х годов. Подход Шимуры, позднее представленный в его монографиях, был в большой степени феноменологическим и преследовал цель широкого обобщения формулировки закона взаимности теории Шаблон:Не переведено 5 (модулярных кривых). Ретроспективно, название «многообразие Шимуры» ввёл Делинь, который пробовал изолировать абстрактные свойства, играющие роль в теории Шимуры. В формулировке Делиня многообразия Шимуры — это область параметров структур Ходжа некоторого типа. Тогда они образуют естественное обобщение модулярных кривых более высокой размерности, которые рассматриваются как пространства модулей эллиптических кривых с уровневой структурой.

Примеры

Пусть F — полностью вещественное числовое поле и D — кватернионная алгебра с делением над F. Мультипликативная группа D× порождает каноническое многообразие Шимуры. Его размерность d является числом бесконечных мест, на которые D расщепляется. В частности, если d = 1 (например, если F = Q и <math>D \otimes \mathbf{R} \cong \mathrm{M}_2(\mathbf{R})</math>), фиксируя достаточно малую арифметическую подгруппу группы D×, получаем кривую Шимуры и кривые, возникающие из этого построения, уже компактны (то есть Шаблон:Не переведено 5).

Некоторые примеры кривых с известными уравнениями, заданные поверхностями Гурвица низкого рода:

и кривой Ферма степени 7[1].

Другие примеры многообразий Шимуры включают Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5.

Канонические модели и специальные точки

Любое многообразие Шимуры можно определить над каноническим числовым полем E называется полем отражений. Этот важный результат, принадлежащий Шимуре, показывает, что многообразия Шимуры, которые априори являются лишь комплексными многообразиями, имеют алгебраическое Шаблон:Не переведено 5 и, поэтому, имеют арифметическое значение. Это образует стартовую точку в формулировке закона взаимности, в котором важную роль играют некоторые арифметически определённые специальные точки.

Качественная природа замыкания Зарисского множеств точек на многообразии Шимуры описывается гипотезой Андре — Оорта. Условные результаты могут быть получены из этой гипотезы, исходя из обобщённой гипотезы Римана.

Роль в программе Ленглендса

Многообразия Шимуры играют выдающуюся роль в программе Ленглендса. Из Шаблон:Не переведено 5 следует, что дзета-функция Хассе — Вейля модулярной кривой является произведением L-функций, ассоциированных с явно определёнными модулярными формами веса 2. На самом деле, Горо Шимура ввёл свои многообразия и доказал свой закон взаимности в процессе обобщения этой теоремы. Дзета-функции многообразий Шимуры, ассоциированных с группой GL2 над другими числовыми полями и их внутренние формы (то есть мудьтипликативные группы алгебр кватернионов) изучали Эйхлер, Шимура, Куга, Сато и Ихара. На основе их результатов Роберт Ленглендс высказал прогноз, что дзета-функция Вейля любого алгебраического многообразия W, определённого над числовым полем должна быть произведением положительных и отрицательных степеней автоморфных L-функций, то есть должна возникать из набора Шаблон:Не переведено 5. Однако утверждения такого типа могут быть доказаны, если W является многообразием Шимуры. По словам Ленглендса:

«

Утверждение, что все L-функции, ассоциированные с многообразиями Шимуры, а тогда и с любым мотивом, определённым многообразием Шимуры, можно выразить в терминах автоморфных L-функций [его статьи 1970-го года], слабее, даже очень слабее, утверждения, что все мотивные L-функции равны таким L-функциям. Тем не менее, хотя ожидается, что более строгое утверждение верно, не существует, насколько я знаю, веских причин ожидать, что все мотивные L-функции будут прикреплены к многообразиям Шимуры.

»
— Анонимус

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Элкис, секция 4.4 (стр. 94-97) в Шаблон:Harvnb.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Многообразие_Шимуры&oldid=10394922