Русская Википедия:Многообразие Эйнштейна

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Многообразие Эйнштейна —  риманово или псевдориманово многообразие, тензор Риччи которого пропорционален метрическому тензору.

Это условие удовлетворяется для решений уравнений Эйнштейна с возможно не нулевой космологической постоянной, но вообще говоря, размерность многообразия Эйнштейна и его сигнатура могут быть произвольными — они не обязательно должны быть четырёх-мерными лоренцевыми многообразиями изучаемых в общей теории относительности.

Названы в честь Альберта Эйнштейна.

Определение

Риманово многообразие является многообразием Эйнштейна если

<math>\mathrm{Ric} = k\cdot g</math>

для некоторой постоянной <math>k</math>, где <math>\mathrm{Ric}</math> обозначает Риччи тензор а <math>g</math> — метрический тензор.

Замечания

• В случае <math>k=0</math> такое многообразие также называется Риччи-плоским.
• Уравнение Эйнштейна с космологической постоянной <math>\Lambda</math> выглядит следующим образом

  <math>R_{ab} - \tfrac{1}{2}\cdot g_{ab}\cdot R + g_{ab}\cdot\Lambda = 8\cdot \pi\cdot T_{ab}, </math>

в вакууме тензором энергии–импульса <math> T_{ab} </math> равен нулю. Поэтому уравнение сводится к

<math>R_{ab} - \tfrac{1}{2}\cdot g_{ab}\cdot R + g_{ab}\cdot\Lambda = 0,</math>

которое можно переписать как

<math>R_{ab} = \frac{2\cdot \Lambda}{n-2}\cdot g_{ab}.</math>

То есть для космологической константы <math>\Lambda</math> имеем <math>k=\tfrac{2\cdot \Lambda}{n-2}</math>.

Примеры

• Любоe многообразие постоянной секционной кривизны; в частности:
  • Евклидово пространство, является плоским и значит Риччи-плоским и в частности многообразием Эйнштейна.
  • Единичная сфера, <math>\mathbb{S}^n</math> эйнштейновская с <math>k=n-1</math>.
  • Пространство Лобачевского эйнштейновское с отрицательным <math>k</math>.
• Комплексные проективные пространства, <math>\mathbb{C}\mathrm{P}^n</math> с Шаблон:Iw.
• Пространство Калаби — Яу Риччи-плоские и в частности является многообразием Эйнштейна.

Свойства

• Шаблон:Iw — необходимое топологическое условие для существования метрики Эйнштейна на замкнутом, ориентированном, четырёх-мерном многообразии.

Вариации и обобщения

• Риччи-солитон

Ссылки

• Шаблон:Книга