Русская Википедия:Многосортная алгебра

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Многосортная алгебра — алгебраическая система с несколькими носителями. Любая алгебраическая система может быть описана как многосортная алгебра. Многосортные алгебры широко применяются в современном теоретическом программировании.

Формулировка

Многосортной алгеброй называется упорядоченная пара <math>((A_{i})_{i \in I}, \Omega)</math>, где элементы семейства множеств <math>(A_{i})_{i \in I}</math> называют сортами, а множество <math>\Omega</math>, называемое многосортной сигнатурой, состоит из многосортных операций - отображений вида <math>\omega: A_{i_{1}} \times ... \times A_{i_{n}} \rightarrow A_{i_{0}}</math>. Операцию <math>\omega</math> называют при этом n-арной операцией типа <math>(i_{0}, i_{1},... i_{n})</math>.

Пример

Рассмотрим в качестве примера многосортную алгебру <math>(V_{3}, R, +(1,1,1), \cdot(1,2,1), (\cdot)(2,1,1), \times(1,1,1), \circ(2,1,1,1))</math>. В качестве первого сорта используется множество <math>V_{3}</math> трехмерных свободных геометрических векторов, в качестве второго сорта - множество действительных чисел. Первая операция - бинарная операция <math>+</math> сложения векторов. Результатом операции является вектор, аргументами - тоже векторы, поэтому она имеет тип <math>(1,1,1)</math>. Вторая операция - бинарная операция <math>\cdot</math> левого умножения вектора на число. Результатом операции является вектор, первый аргумент- число, второй аргумент - вектор, поэтому она имеет тип <math>(1,2,1)</math>. Третья операция - бинарная операция <math>(\cdot)</math> скалярного умножения векторов. Результатом операции является число, она имеет тип <math>(2,1,1)</math>. Четвертая операция - бинарная операция <math>\times</math> векторного умножения векторов. Результатом операции является вектор, она имеет тип <math>(1,1,1)</math>. Пятая операция - тернарная операция <math>\circ</math> смешанного умножения векторов. Результатом операции является число, она имеет тип <math>(2,1,1,1)</math>.

Свойства

Любая алгебраическая система может быть описана как многосортная алгебраШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга