Русская Википедия:Многочлены Бернулли
Многочлены Бернулли — последовательность многочленов, возникающая при изучении многих специальных функций, в частности ζ-функции Римана и ζ-функции Гурвица; частный случай последовательности Аппеля. В отличие от ортогональных многочленов, многочлены Бернулли примечательны тем, что число корней в интервале <math>\ [0,1]</math> не увеличивается с увеличением степени многочлена. При неограниченном увеличении степени многочлены Бернулли приближаются к тригонометрическим функциям.
Названны в честь Якоба Бернулли.
Определения
Многочлены Бернулли <math>\ B_n(x)</math> можно определить различными способами в зависимости от удобства.
Явное задание:
- <math>B_n(x) = \sum_{k=0}^n C_n^k B_{n-k} x^k</math>,
где <math>C_n^k</math> — биномиальные коэффициенты, <math>\ B_k</math> — числа Бернулли, или:
- <math>B_n(x)= \sum_{m=0}^n \frac{1}{m+1} \sum_{k=0}^m (-1)^k C_m^k (x+k)^n.</math>
Производящей функцией для многочленов Бернулли является:
- <math>\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}.</math>
Можно представить многочлены Бернулли дифференциальным оператором:
- <math>B_n(x)={D \over e^D -1} x^n</math>, где <math>D</math> — оператор формального дифференцирования.
Несколькими первыми многочленами Бернулли являются:
- <math>B_0(x)=1,</math>
- <math>B_1(x)=x-\frac{1}{2},</math>
- <math>B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},</math>
- <math>B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x,</math>
- <math>B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},</math>
- <math>B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x,</math>
- <math>B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}.</math>
Свойства
Начальные значения многочленов Бернулли при <math>\ x=0</math> равны соответствующим числам Бернулли:
- <math>\ B_n(0)=B_n</math>.
Производная от производящей функции:
- <math>t e^{tx}\frac{1}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B'_n(x)}{n!}t^n</math>.
Левая часть отличается от производящей функции только множителем <math>\ t</math>, поэтому:
- <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B'_n(x)}{n!}t^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n(x)}{n!}t^{n+1}</math>.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях <math>\ t</math>:
- <math>\frac{B'_n(x)}{n!}=\frac{B_{n-1}(x)}{(n-1)!}</math>,
откуда:
- <math>\ B'_n(x)=n B_{n-1}(x)</math>.
(Функции, удовлетворяющие подобному свойству называются последовательностью Аппеля).
Из последнего равенства следует правило интегрирования многочленов Бернулли:
- <math>\ B_n(x)=B_n+n\int_0^x B_{n-1}(t)\,dt</math>.
Также бывает полезно свойство сбалансированности:
- <math>\int_0^1B_n(x)dx=0</math> (при <math>n>0</math>)
Теорема об умножении аргумента: если <math>m</math> — произвольное натуральное число, то:
- <math>
\sum_{n=0}^\infty B_n(mx) \frac{t^n}{n!}=\frac{t e^{mxt}}{e^t-1}= \frac{1}{m}e^{mxt}\frac{mt(1+e^t+\cdots+e^{(m-1)t})}{e^{mt}-1}=\frac{1}{m}\sum_{s=0}^{m-1}\frac{e^{\left(x+\frac{s}{m}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}=\frac{1}{m}\sum_{s=0}^{m-1}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n\left(x+\frac{s}{m}\right)m^n}{n!}t^n.</math>
Из построенных разложений следует теорема об умножении аргумента:
- <math>B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{s=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{s}{m}\right)</math>.
Симметрия:
- <math>\ B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x),</math>
- <math>\ (-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}.</math>
Ссылки
