Русская Википедия:Многочлены Фабера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Многочлены Фабера — обобщение многочленов Чебышёва.

Определение

Пусть <math>K</math> — ограниченный континуум — ограниченное непустое связное множество, содержащее более одной точки. И <math>g_{\infty}</math> — это та из смежных с <math>K</math> областей, к которой принадлежит <math>z=\infty</math>. <math>g_{\infty}\equiv D</math> — односвязная область расширенной плоскости, граница которой <math>\Gamma_{\infty}</math> является частью континуума <math>K</math>.

Область <math>g_\infty</math> конформно отображается на внешность круга с центром в точке <math>w=0 </math> посредством функции <math>w = \Phi(z)</math> так, что выполняются два условия:

<math>\Phi(\infty)=\infty</math>

<math>\lim_{z\to\infty} \Phi(z)/z=\gamma > 0</math>

которыми функция <math>\Phi(z)</math> определяется единственным образом. Из этих условий следует, что функция <math>w = \Phi(z) </math>, являясь аналитической в области <math>D</math>, кроме точки <math>z=\infty</math>, имеет в точке <math>z=\infty</math> простой полюс, и поэтому её лорановское разложение в некоторой окрестности точки <math>z=\infty</math> имеет вид

<math>\Phi(z)=\gamma z + \gamma_0+\gamma_1 /z + \gamma_2 / z^2+\ldots.</math>

Многочленом Фабера n-го порядка, порождённым континуумом <math>K</math>, называется многочлен

<math>\Phi_n(z)= \gamma^n z^n + a^{(n)}_{n-1}z^{n-1}+ a^{(n)}_{n-2}z^{n-2}+\ldots+ a^{(n)}_{1}z + a^{(n)}_0</math>

представляющий собой члены с неотрицательными степенями <math>z</math> в лорановском разложении функции <math>\Phi(z)^n</math> в окрестности бесконечно удаленной точки.

Свойства

• Многочлены Чебышёва являются частным случаем многочленов Фабера при <math>K=[-1;1]</math>.

Ссылки

• Суетин П. К. Многочлены Фабера.
• Шаблон:MathWorld