Русская Википедия:Многочлены Шура

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Многочлены Шура — названные в честь И. Шура симметрические многочлены от <math>n</math> переменных специального вида, параметризованные разбиениями неотрицательных целых чисел в сумму <math>n</math> неупорядоченных слагаемых, или, что то же самое, диаграммами Юнга с не более, чем <math>n</math> столбцами. Коэффициенты их задания как многочленов от элементарных симметрических многочленов Ньютона связаны со значениями характеров соответствующих представлений симметрической группы <math>S_n</math>.

Формальное определение

Многочлен Шура, соответствующий разбиению <math> \lambda,</math> равен

<math>

s_{\lambda}(x_1,\dots,x_n) = \frac{\det (x_i^{\lambda_j+n-j})_{i,j=1}^n}{\det (x_i^{n-j})_{i,j=1}^n}. </math>

Также имеются формулы, выражающие многочлены Шура через элементарные симметрические многочлены <math> e_r </math> и полные симметрические многочлены <math> h_r </math>:

<math>

s_{\lambda}(x_1,\dots,x_n) = det(h_{\lambda_i-i+j})_{1 \le i, j \le n} </math>, где <math> n \ge l(\lambda) </math>,

<math>

s_{\lambda}(x_1,\dots,x_n) = det(e_{\lambda'_i-i+j})_{1 \le i, j \le m} </math>, где <math> \lambda' </math> - сопряжённое к <math> \lambda </math> разбиение, а также <math> m \ge l(\lambda') </math>.

В частности, <math> s_{(n)} = h_n </math> и <math> s_{(1^n)} = e_n </math>.

Связь с представлениями симметрической группы

Многочлен Шура <math>s_{\lambda}(x_1,\dots,x_n)</math>, соответствующий диаграмме Юнга <math>\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)</math>, выражается через элементарные симметрические многочлены Ньютона <math>p_k(x_1,\dots,x_n)=\sum_j x_j^k</math> с коэффициентами, выражающимися через значения характера <math>\chi_{\lambda}</math>, соответствующего <math>\lambda</math> представления симметрической группы <math>S_n</math>. А именно,

<math>

s_\lambda=\sum_{\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)}\chi^\lambda (\rho) \cdot \prod_k \frac{p^{r_k}_k}{r_k!}, </math> где запись <math>\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)</math> означает, что в классе сопряжённости <math>\rho</math> в разложении подстановки на непересекающиеся циклы имеется <math>r_j</math> циклов длины <math>j</math>.