Русская Википедия:Многочлены Эрмита
Шаблон:Семейство ортогональных многочленов</math> | названы в честь = Шарль Эрмит }} Многочле́ны Эрми́та — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.
Названы в честь французского математика Шарля Эрмита.
Определение
В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:
- <math>H_n^\mathrm{math}(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}</math>;
в физике обычно используется другое определение:
- <math>H_n^\mathrm{phys}(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}</math>.
Два определения, приведённые выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является «отмасштабированной» версией другого
- <math>H_n^\mathrm{phys}(x) = 2^{n/2}H_n^\mathrm{math}(\sqrt{2}\,x)</math>.
Явные выражения для первых одиннадцати (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):
- <math>H_0(x)=1</math>
- <math>H_1(x)=x</math>
- <math>H_2(x)=x^2-1</math>
- <math>H_3(x)=x^3-3x</math>
- <math>H_4(x)=x^4-6x^2+3</math>
- <math>H_5(x)=x^5-10x^3+15x</math>
- <math>H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15</math>
- <math>H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x</math>
- <math>H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105</math>
- <math>H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x</math>
- <math>H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945</math> .
Аналогичным образом определяются первые одиннадцать (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита в физическом определении:
- <math>H_0(x)=1</math>
- <math>H_1(x)=2x</math>
- <math>H_2(x)=4x^2-2</math>
- <math>H_3(x)=8x^3-12x</math>
- <math>H_4(x)=16x^4-48x^2+12</math>
- <math>H_5(x)=32x^5-160x^3+120x</math>
- <math>H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120</math>
- <math>H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x</math>
- <math>H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680</math>
- <math>H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x</math>
- <math>H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240</math>
Общее уравнение для многочленов Эрмита имеет вид: <math> H_n(x)=\sum_{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{(-1)^j} \frac{n!}{j!(n-2j)!}(2x)^{n-2j}=(2x)^n-\frac{n(n-1)}{1}(2x)^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}(2x)^{n-4}-\ldots, </math>
Свойства
- Многочлен <math>H_n(x)</math> содержит члены только той же чётности, что и само число <math>n</math>:
- Многочлен <math>H_n(x)</math> чётен при чётном <math>n</math> и нечётен при нечётном <math>n</math>:
- <math>H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),\quad H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),\quad n=0,1,2, \ldots </math>.
- При <math>x=0</math> верны такие соотношения:
- <math>H_{2n}(0)=\dfrac{(-1)^n}{2^n}\dfrac{(2n)!}{n!}, ~~ H_{2n+1}=0, EducationBot (обсуждение) n=0,1,2, \ldots</math>, (в вероятностном определении)
- <math>H_{2n}(0)=\dfrac{(-1)^n (2n)!}{n!}, ~~ H_{2n+1}=0, EducationBot (обсуждение) n=0,1,2, \ldots</math>. (в физическом определении)
- Уравнение <math>H_n(x)=0</math> имеет <math>n</math> вещественных корней, попарно симметричных относительно начала системы координат, и модуль каждого из них не превосходит величины <math>\sqrt{n(n-1)/2}</math>. Корни многочлена <math>H_n(x)=0</math> чередуются с корнями многочлена <math>H_{n+1}(x)=0</math>.
- Многочлен <math>H_n(x)</math> можно представить в виде определителя матрицы <math>n \times n</math>:
- <math>
H_n(x)=\left |\begin{array}{cccccc} x & n-1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & x & n-2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & x & n-3 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x \end{array}\right | </math>
Формула сложения
Имеет место следующая формула сложения для многочленов Эрмита:
- <math>
\frac{(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)^{\frac{\mu}{2}}}{\mu!}H_{\mu} \left [ \frac{a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots a_nx_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}}\right ]= \sum_{m_1+\cdots+m_n=\mu}\frac{a_1^{m_1}}{m_1!}\cdots \frac{a_n^{m_n}}{m_n!} H_{m_1}(x_1)\cdots H_{m_n}(x_n)~. </math>
Легко видеть, что следующие формулы являются её частными случаями:
- <math>a_1=a_2=\cdots =a_n=1</math>, <math>x_1=x_2=\cdots =x_n</math>. Тогда
- <math> n^{\frac{\mu}{2}}H_{\mu}(\sqrt{n}x)=\sum_{m_1+\cdots+m_n=\mu}\frac{\mu!}{m_1!\cdots m_n!}H_{m_1}(x)\cdots H_{m_n}(x)</math>.
- <math>n=2</math>, <math>a_1=a_2=1</math>, <math>x_1=\sqrt{2}x,~x_2=\sqrt{2} y</math>. Тогда
- <math>
2^\mu H_{\mu}(x+y)=\sum_{p+q+r+s=\mu}\frac{\mu!}{p!~q!~r!~s!}H_p(x)H_q(x)H_p(y)H_q(y) </math>.
Дифференцирование и рекуррентные соотношения
Производная <math>k</math>-го порядка от многочлена Эрмита <math>H_n(x)</math>, <math>n\ge k</math> также есть многочлен Эрмита (для физического определения):
<math>
\frac{d^k}{dx^k}H_n(x)=2^kn(n-1)\cdots (n-k+1)H_{n-k}(x)~,</math>
Отсюда получается соотношение для первой производной (для физического определения)
<math>H'_n(x)=\frac{dH_n(x)}{dx}=2nH_{n-1}(x)</math>
и рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
<math>
H_n(x)-xH_{n-1}(x)+(n-1)H_{n-2}(x)=0~,~~ n \ge 2
</math>
Для физического определения рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
<math>
H_n(x)-2xH_{n-1}(x)+2(n-1)H_{n-2}(x)=0~,~~ n \ge 2
</math>
Ортогональность
Многочлены Эрмита образуют полную ортогональную систему на интервале <math>(-\infty,+\infty)</math> с
весом <math>e^{-x^2/2}</math> или <math>e^{-x^2}</math> в зависимости от определения:
- <math>\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx=n! \sqrt{2\pi}~\delta_{\mathit{nm}}</math>, (в вероятностном определении)
- <math>\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2}\,dx=2^n n! \sqrt{\pi}~\delta_{\mathit{nm}}</math>, (в физическом определении)
где <math>\delta_{mn}</math> — дельта-символ Кронекера.
Важным следствием ортогональности многочленов Эрмита является возможность разложения разных функций в ряды по многочленам Эрмита. Для любого неотрицательного целого <math>p</math> справедлива запись
<math> \frac{x^p}{p!}=\sum_{k=0}^{k\le p/2}\frac{1}{2^k}\frac{1}{k!(p-2k)!}H_{p-2k}(x). </math>
Из этого выплывает связь между коэффициентами разложения функции в ряд Маклорена <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math> и коэффициентами разложения этой же функции по многочленам Эрмита, <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty A_n H_n(x)</math>,которые называются отношениями Нильса Нильсона:
<math>A_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}a_{n+2k},EducationBot (обсуждение)a_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}A_{n+2k}</math>
Например, разложение функции Куммера будет иметь такой вид:
<math> {}_1F_1(\alpha,\gamma;x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\alpha,n)}{(\gamma,n)(1,n)}{}_2F_2\left (\frac{\alpha+n}{2},\frac{\alpha+n+1}{2};\frac{\gamma+n}{2},\frac{\gamma+n+1}{2}; \frac{1}{2}\right )H_n(x),EducationBot (обсуждение)(a,b)\equiv\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma(a)}, </math>
где <math>{}_2F_2 (a_1,a_2;b_1,b_2;x)</math> —обобщённая гипергеометрическая функция второго порядка, <math>\Gamma(x)</math> — гамма-функция.
Разложение функций, в которых присутствует экспонента.
Для любой функции, которая записывается как суперпозиция экспонент
<math>
f(x)=\sum_{k=1}^{p}c_k e^{\alpha_k x},
</math>
можно записать следующее разложение по многочленам Эрмита:
<math>
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}A_n H_n(x)~,EducationBot (обсуждение)A_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{p}c_k \alpha_k^n e^{\frac{\alpha_k^2}{2}}~.
</math>
Разложения известных гиперболических и тригонометрических функций имеют вид
- <math> \mathrm{ch}\, {tx}=e^{\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{(2n)!}H_{2n}(x),EducationBot (обсуждение)
\mathrm{sh}\, {tx}=e^{\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}H_{2n+1}(x), </math>
- <math> \cos {tx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n}}{(2n)!}H_{2n}(x),EducationBot (обсуждение)
\sin {tx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}H_{2n+1}(x), </math>
Дифференциальные уравнения
Многочлены Эрмита <math>H_n(x)</math> являются решениями линейного дифференциального уравнения:
<math>y(x)-2xy'(x)+2ny(x)=0</math>
Если <math>n</math> является целым числом, то общее решение вышеприведённого уравнения записывается как
<math>y(x)=AH_n(x)+Bh_n(x)</math>,
где <math>A,B</math> — произвольные постоянные, а функции <math>h_n(x)</math> называются функциями Эрмита второго рода. Эти функции не приводятся к многочленам и их можно выразить только с помощью трансцендентных функций <math>e^{x^2/2}</math> и <math>\int_0^x e^{z^2/2}dz</math>.
Представления
Многочлены Эрмита предполагают такие представления:
<math>H_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\Gamma\frac{e^{zx-z^2/2}}{z^{n+1}}\,dz</math>
где <math>\Gamma</math> — контур, который охватывает начало координат.
Другое представление имеет вид:
<math>H_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+iy)^n e^{-\frac{y^2}{2}}dy</math>.
Связь с другими специальными функциями
- Связь с функцией Куммера:
- <math>H_{2n}(x)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n)!}{n!} ~{}_1F_1\left ( -n;\frac{1}{2};\frac{x^2}{2}\right )~,EducationBot (обсуждение)H_{2n+1}(x)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n+1)!}{n!}x ~{}_1F_1\left ( -n;\frac{3}{2};\frac{x^2}{2}\right )</math>
- Связь с многочленами Лагерра:
- <math>H_{2n}(x) = (-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^2/2)\,\!,EducationBot (обсуждение)H_{2n+1}(x) = (-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^2/2)</math>
Применение
- В квантовой механике многочлены Эрмита входят в выражение волновой функции квантового гармонического осциллятора. В безразмерных переменных уравнения Шрёдингера, которое описывает состояние квантового гармонического осциллятора, имеет вид:
- <math>
\left (-\frac{d^2}{dx^2}+x^2 \right )\psi_n(x)=\lambda_n \psi_n(x) </math>.
- Решениями этого уравнения являются собственные функции осциллятора, которые отвечают собственным значениям <math>\lambda_n=2n+1</math>. Нормированные на единицу, они записываются как
- <math>
\psi_n(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}\frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}}H_n^*(x)~,~~n=0,1,2,\dots</math>.
- В данном выражении используются именно «физические» многочлены Эрмита <math>H_n^*(x)</math>.
- Многочлены Эрмита используются в решении одномерного уравнения теплопроводности <math>u_t-u_{xx}=0</math> на бесконечном интервале. Это уравнение имеет решение в виде экспоненциальной функции <math>u(x,t)=e^{\alpha x+\alpha^2 t}</math>. Поскольку такую функцию можно представить в виде разложения по многочленам Эрмита, а с другой стороны она может быть разложена в ряд Тейлора по <math>\alpha</math>:
- <math>
e^{\alpha x+\alpha^2 t}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{n!}P_n(x,t) </math>,
- то функции <math>P_n(x,t)</math>, которые являются решением уравнения теплопроводности и удовлетворяют начальному условию <math>P_n(x,t=0)=x^n</math>, выражаются через многочлены Эрмита следующим образом:
- <math>
P_n(x,t)=(i\sqrt{2t})^nH_n \left ( \frac{x}{i\sqrt{2t}} \right )=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}y^n dy </math>.
- Для получения последнего равенства был использован интеграл Пуассона — Фурье.
- В лазерной физике, а точнее — в теории открытых (оптических) резонаторов, многочлены Эрмита входят в выражение, описывающее распределение амплитуды в поперечном сечении соответствующей поперечной моды Эрмита — Гаусса (собственно, произведение одного из многочленов Эрмита и функции Гаусса), характерной для оптических резонаторов с прямоугольной формой зеркал резонатора.
Ссылки
Литература
Шаблон:Rq Шаблон:Ортогональные многочлены
