Русская Википедия:Многочлены Якоби

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения термина Шаблон:Ортогональные многочлены 2 Многочлены Якоби (или полиномы Якоби) — класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

Определение

Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечные:

<math>P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!}

\,_2F_1\left(-n,\;1+\alpha+\beta+n;\;\alpha+1;\;\frac{1-z}{2}\right),</math>

где <math>(\alpha+1)_n</math> является символом Похгаммера (для растущего факториала), и, таким образом, выводится выражение

<math>

P_n^{(\alpha,\;\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)} \sum_{m=0}^n {n\choose m} \frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m,</math> Откуда одно из конечных значений следующее

<math>P_n^{(\alpha,\;\beta)} (1) = {n+\alpha\choose n}.</math>

Для целых <math>n</math>

<math>{z\choose n} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(z-n+1)},</math>

где <math>\Gamma(z)</math> — обычная гамма-функция, и

<math>{z\choose n} = 0 \quad\text{для}\quad n < 0.</math>

Эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности

<math>

\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} P_m^{(\alpha,\;\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\;\beta)} (x) \, dx= \frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1} \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm},</math> для <math>\alpha>-1</math> и <math>\beta>-1</math>.

Существует отношение симметрии для полиномов Якоби.

<math>P_n^{(\alpha,\;\beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta,\; \alpha)} (z);</math>

а потому ещё одно значение полиномов:

<math>P_n^{(\alpha,\;\beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n}.</math>

Для действительного <math>x</math> полином Якоби может быть записан следующим образом.

<math>P_n^{(\alpha,\;\beta)}(x)=

\sum_s {n+\alpha\choose s}{n+\beta \choose n-s} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s},</math> где <math>s \geqslant 0</math> и <math> n-s \geqslant 0</math>.

В особом случае, когда <math>n</math>, <math>n+\alpha</math>, <math>n+\beta</math> и <math>n+\alpha +\beta</math> — неотрицательные целые, полином Якоби может принимать следующий вид

<math>P_n^{(\alpha,\;\beta)}(x)= (n+\alpha)! (n+\beta)!

\sum_s \left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}.</math>

Сумма берется по всем целым значениям <math>s</math>, для которых множители являются неотъемлемыми.

Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера <math>d^j_{m' m}(\varphi)</math> (<math>0\leqslant \varphi\leqslant 4\pi</math>) в терминах полиномов Якоби

<math>d^j_{m'm}(\varphi) = \xi_{m'm}\left[

\frac{(s)!(s+\mu+\nu)!}{(s+\mu)!(s+\nu)!}\right]^{1/2} \left(\sin\frac{\varphi}{2}\right)^{\mu} \left(\cos\frac{\varphi}{2}\right)^{\nu} P_{s}^{(\mu,\;\nu)}(\cos \varphi)</math>,

где <math>\mu = |m - m'|, \nu = |m+m'|,s = j -\frac{1}{2}(\mu + \nu)</math>

Величина <math>\xi_{m'm}</math> определяется формулой

<math>\xi_{m'm} = \begin{cases} 1, & \text{if }m\geq m' \\ (-1)^{m'-m}, & \text{if }m<m' \end{cases}</math>

Производные

<math>k</math>-я производная явного выражения приводит к

<math>\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k}

P_n^{(\alpha,\;\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k \Gamma (\alpha+\beta+n+1)} P_{n-k}^{(\alpha+k,\; \beta+k)} (z).</math>

Литература

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.