Русская Википедия:Многочлен Александера

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Многочлен Александера — это инвариант узла, который сопоставляет многочлен с целыми коэффициентами узлу любого типа. Джеймс Александер обнаружил его, первый многочлен узла, в 1923. В 1969 Джон Конвей представил версию этого многочлена, ныне носящую название многочлен Александера — Конвея. Этот многочлен можно вычислить с помощью скейн-соотношения, хотя важность этого не была осознана до открытия полинома Джонса в 1984. Вскоре после доработки Конвеем многочлена Александера стало понятно, что похожее скейн-cоотношение было и в статье Александера для его многочлена[1].

Определение

Пусть K — узел на 3-сфере. Пусть X — бесконечное циклическое накрытие дополнения узла K. Это накрытие можно получить путём разрезания дополнения узла вдоль поверхности Зейферта узла K и склеивания бесконечного числа копий полученного многообразия с границей. Существует Шаблон:Не переведено 5 t, действующее на X. Обозначим первую группу целочисленных гомологий X как <math>H_1(X)</math>. Преобразование t действует на эту группу, так что мы можем считать <math>H_1(X)</math> модулем над <math>\mathbb{Z}[t, t^{-1}]</math>. Он называется инвариантом Александера или модулем Александера.

Этот модуль конечно порождён. Матрица копредставления для этого модуля называется матрицей Александера. Если число генераторов r меньше либо равно числу соотношений s, то рассмотрим идеал, порождённый минорами матрицы Александера порядка r. Это нулевой Шаблон:Не переведено 5, или идеал Александера, и он не зависит от выбора матрицы копредставления. Если r > s, полагаем идеал равным 0. Если идеал Александера главный, то порождающий элемент этого идеала и называется многочленом Александера данного узла. Поскольку порождающая может быть выбрана однозначно с точностью до умножения на одночлен Лорана <math>\pm t^n</math>, часто приводят к определённому уникальному виду. Александер выбирал нормализацию, в которой многочлен имеет положительный постоянный член.

Александер доказал, что идеал Александера ненулевой и всегда главный. Таким образом, многочлен Александера всегда существует, и ясно, что это инвариант узла, обозначаемый <math>\Delta_K(t)</math>. Многочлен Александера для узла, образованного одной нитью, имеет степень 2 и для зеркального отражения узла многочлен будет тем же самым.

Вычисление многочлена

Следующий алгоритм вычисления многочлена Александера была приведена Дж. В. Александером в своей статье.

Возьмём ориентированную диаграмму узла с n пересечениями. Имеется n + 2 областей диаграммы. Чтобы получить многочлен Александера, сначала построим матрицу инцидентности размера (n, n + 2). n строк соответствуют n пересечениям, а n + 2 столбцов соответствуют областям. Значениями элементов матрицы будут 0, 1, −1, t, −t.

Файл:Alexander Matrix elm.svg
Значения элементов матрицы для областей, смежных пересечению. Линия, отмеченная стрелкой, лежит снизу и стрелка указывает направление обхода.

Рассмотрим элемент матрицы, соответствующий некоторой области и пересечению. Если область не прилегает к пересечению, элемент равен 0. Если область прилегает к пересечению, значение элемента зависит от положения. Рисунок справа показывает значение элементов в матрице для пересечения (лежащий ниже участок узла помечен направлением обхода, для лежащего сверху направление не имеет значения). Следующая таблица задаёт значения элементов в зависимости от положения, области относительно лежащей снизу линии.

слева до пересечения: −t
справа до пересечения: 1
слева после пересечения: t
справа после пересечения: −1

Удалим два столбца, соответствующих смежным регионам из матрицы, и вычислим определитель полученной n х n матрицы. В зависимости от того, какие столбцы удалены, ответ будет отличаться на множитель <math>\pm t^n</math>. Во избежание неоднозначности разделим многочлен на наибольшую возможную степень t и умножим на −1, если необходимо, для получения положительного коэффициента. Полученный многочлен есть многочлен Александера.

Многочлен Александера можно вычислить, исходя из Шаблон:Не переведено 5.

После работы Александера Р. Фокс рассматривал копредставление группы узла <math>\pi_1(S^3\backslash K)</math>, и предложил некоммутативный метод вычисленияШаблон:Sfn, который также позволяет вычислить <math>\Delta_K(t)</math>. Детальное изложение этого подхода можно найти в книге Шаблон:Harvtxt.

Пример построения многочлена

Файл:Alexander trefoil.svg
Вычисление многочлена Александера для трилистника.
Стрелка показывает направление обхода, линия со стрелкой проходит снизу.

Построим многочлен Александера для трилистника. На рисунке показаны области (A0, A1, A2, A3, A4) и точки пересечения (P1, P2, P3), а также значения элементов таблицы (рядом с точками пересечения).

Таблица Александера для трилистника примет вид:

ТочкаA0A1A2A3A4
P1-10-tt1
P2-11-t0t
P3-1t-t10

Отбросим первые два столбца и вычислим определитель: <math>-t^3 - t + t^2</math>.

Разделив полученное выражение на <math>-t</math>, получим многочлен Александера для трилистника: <math>t^2 - t + 1</math>.

Основные свойства многочлена

Многочлен Александера симметричен: <math>\Delta_K(t^{-1}) = \Delta_K(t)</math> для всех узлов K.

С точки зрения определения выше, это выражение изоморфизма Пуанкаре <math> \overline{H_1 X} \simeq \mathrm{Hom}_{\mathbb Z[t,t^{-1}]}(H_1 X, G) </math> где <math>G</math> — факторгруппа поля частных кольца <math>\mathbb Z[t,t^{-1}]</math>, рассматриваемого как <math>\mathbb Z[t,t^{-1}]</math>-модуль, а <math>\overline{H_1 X}</math> — сопряжённый <math>\mathbb Z[t,t^{-1}]</math>-модуль к <math>H_1 X</math> (как абелева группа он идентичен <math>H_1 X</math>, но накрывающее отображение <math>t</math> действует как <math>t^{-1}</math>).

Кроме того, многочлен Александера принимает значение в 1, по модулю равное единице: <math>\Delta_K(1)=\pm 1</math>.

С точки зрения определения, это выражение факта, что дополнение узла -- гомологическая окружность, первые гомологии которой порождены накрывающим преобразованием <math>t</math>. Более общо, если <math>M</math> является 3-многообразием, таким, что <math>\mathrm{rank}(H_1 M) = 1</math>, оно имеет многочлен Александера <math>\Delta_M(t)</math>, определённый как порядковый идеал бесконечного циклического накрывающего пространства. В этом случае <math>\Delta_M(1)</math>, с точностью до знака, равно порядку подгруппы кручения <math>H_1 M</math>.

Известно, что любой лорановский многочлен с целыми коэффициентами, который симметричен и в точке 1 имеет по модулю значение 1, является многочленом Александера некоторого узлаШаблон:Sfn.

Геометрическая важность многочлена

Поскольку идеал Александера является главным, <math>\Delta_K(t)=1</math> тогда и только тогда, когда группы узла Шаблон:Не переведено 5 (её коммутант совпадает со всей группой узла).

Для топологически срезанного узла многочлен Александера удовлетворяет условию Фокса-Милнора <math>\Delta_K(t) = f(t)f(t^{-1})</math>, где <math>f(t)</math> — некий другой лорановский многочлен с целыми коэффициентами.

Удвоенный род узла ограничен снизу степенью многочлена Александера.

Михаэль Фридман доказал, что узел на 3-сфере является топологически срезанным, то есть границами «локально плоского» топологического диска на 4-мерном шаре, если многочлен Александера узла тривиаленШаблон:Sfn.

Луис Кауффман описываетШаблон:Sfn построение многочлена Александера через суммы состояний физических моделей. Обзор этого подхода, а также других связей с физикой даны в другой статье Кауффмана (Шаблон:Harvnb).

Имеются также другие связи с поверхностями и гладкой 4-мерной топологией. Например, при некоторых предположениях допустима хирургия на Шаблон:Не переведено 5, при которой окрестность двумерного тора заменяется на дополнение узла, умноженное на S1. Результатом будет гладкое 4-многообразие, гомеоморфное исходному, хотя Шаблон:Не переведено 5 меняется (умножается на многочлен Александера узла)[2].

Известно, что узлы с симметрией имеют ограниченные полиномы Александера. См. раздел симметрии в работе КаваутиШаблон:Sfn. Однако многочлен Александера может не заметить некоторые симметрии, такие как сильная обратимость.

Если дополнение узла является расслоением над окружностью, то многочлен Александера узла монарен (коэффициенты при старшем и младшем членах равны <math>\pm 1</math>). Пусть <math>S \to C_K \to S^1</math> — расслоение, где <math>C_K</math> — дополнение узла. Обозначим отображение монодромии как <math>g : S \to S</math>. Тогда <math>\Delta_K(t) = Det(tI-g_*)</math>, где <math>g_* : H_1(S) \to H_1(S)</math> — индуцированное отображение в гомологиях.

Связь с сателлитными операциями

Пусть <math>K</math> — сателлитный узел со спутником <math>K'</math>, то есть существует вложение <math>f : S^1 \times D^2 \to S^3</math>, такое что <math>K=f(K')</math>, где <math>S^1 \times D^2 \subset S^3</math> — незаузлённый сплошной тор, содержащий <math>K</math>. Тогда <math>\Delta_K(t) = \Delta_{f(S^1 \times \{0\})}(t^a) \Delta_{K'}(t)</math>. Здесь <math>a \in \mathbb Z</math> — целое число, которое представляет <math>K' \subset S^1 \times D^2</math> в <math>H_1(S^1\times D^2) = \mathbb Z</math>.

Пример: Для связной суммы узлов (Knot sum) <math>\Delta_{K_1 \# K_2}(t) = \Delta_{K_1}(t) \Delta_{K_2}(t)</math>. Если <math>K</math> является нескрученным двойным узлом Уайтхеда, то <math>\Delta_K(t)=\pm 1</math>.

Многочлен Александера — Конвея

Александер показал, что полином Александера удовлетворяет скейн-соотношению. Джон Конвей позже переоткрыл это в другой форме и показал, что скейн-соотношение вместе с выбором значения на тривиальном узле достаточно для определения многочлена. Версия Конвея является многочленом от z с целочисленными коэффициентами, обозначается <math>\nabla(z)</math> и называется многочленом Александера — Конвея (а также многочленом Конвея или многочленом Конвея — Александера).

Рассмотрим три диаграммы ориентированных зацеплений <math>L_+, L_-, L_0</math>.

Файл:Skein (HOMFLY).svg

Скейн-соотношения Конвея:

Связь со стандартным многочленом Александера задаётся соотношением <math>\Delta_L(t^2) = \nabla_L(t - t^{-1})</math>. Здесь <math>\Delta_L</math> должен быть должным образом нормализован (умножением на <math>\pm t^{n/2}</math>) чтобы выполнялось скейн-соотношение <math>\Delta(L_+) - \Delta(L_-) = (t^{1/2} - t^{-1/2}) \Delta(L_0)</math>. Заметим, что это даёт многочлен Лорана от t1/2.

Связь с гомологиями Хованова

В работах Ожвата и СабоШаблон:Sfn и РасмуссенаШаблон:Sfn многочлен Александера представлен как эйлерова характеристика комплекса, гомологии которого являются изотопическими инвариантами рассматриваемого узла <math>K</math>, поэтому теория Шаблон:Не переведено 5 является категорификацией полинома Александера. Подробнее см. в статье «Шаблон:Не переведено 5»Шаблон:Sfn.

Вариации и обобщения

  • Многочлен HOMFLY — похожий, но более тонкий инвариант узлов и зацеплений.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Теория узлов Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Александер описывает скейн-соотношение в конце статьи под заголовком «разные теоремы», возможно, поэтому они и не были замечены. Джоан Бирман упоминает в своей статье «Новый взгляд на теорию узлов» (New points of view in knot theory, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 28 (1993), no. 2, 253—287), что Марк Кидвелл привлёк её внимание к соотношению Александера в 1970.
  2. ↑ Шаблон:Cite web
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Многочлен_Александера&oldid=10395041