Русская Википедия:Многочлен Бернштейна

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В вычислительной математике многочлены Бернштейна — это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна.

Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм де Кастельжо.

Многочлены в форме Бернштейна были описаны Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году и использованы им в конструктивном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. С развитием компьютерной графики полиномы Бернштейна на промежутке x ∈ [0, 1] стали играть важную роль при построении кривых Безье.

Определение

(n + 1) базисных многочленов Бернштейна степени n находятся по формуле

<math>b_{k,n}(x) = \binom{n}{k} x^{k} (1-x)^{n-k}, \qquad k=0,\ldots,n.</math>

где <math>\binom{n}{k}</math> — биномиальный коэффициент.

Базисные многочлены Бернштейна степени n образуют базис для линейного пространства <math>\Pi_n</math> многочленов степени n.

Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна

<math>B_n(f; x) = B_n(x) = \sum_{k=0}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) b_{k,n}(x)</math>

называется многочленом Бернштейна или точнее многочленом в форме Бернштейна степени n. Коэффициенты <math>f\left(\frac{k}{n}\right)</math> называются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье.

Примеры

Вот некоторые базисные полиномы Бернштейна:

<math>b_{0,0}(x) = 1</math>

<math>b_{0,1}(x) = 1-x</math>

<math> b_{1,1}(x) = x</math>

<math>b_{0,2}(x) = (1-x)^2</math>

<math>b_{1,2}(x) = 2x(1-x)</math>

<math> b_{2,2}(x) = x^2 \ .</math>

Свойства

Шаблон:Заготовка раздела Дифференцирование

<math>b'_{k,n}(x)=n\,b_{k,n-1}(x)+n\,b_{k-1,n-1}(x)</math>

<math>b_{k,n}^{(l)}(x)=\frac{n!}{(n-l)!}\sum_{j=0}^{l}\binom{l}{j}b_{k-j,n-l}(x)</math>

Леммы о моментах

<math>\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) = 1</math> для любых n и x, так как <math>\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) = (x + 1-x)^{n} = 1^{n}</math>

<math>\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) (x - k/n) = 0</math> для любых n и x

<math>\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) (x - k/n)^2 = x(1-x)/n</math> для любых n и x

См. также

• Кривая Безье
• Интерполяция алгебраическими многочленами
• Формулы Ньютона
• Многочлен Лагранжа